Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$. Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng $\left( \Delta \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=10+t \\
& y=p-t \\
& z=10+t \\
\end{aligned} \right. $, kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu $ \left( S \right) $ với B, C, D là các tiếp điểm. Biết rằng với mỗi tham số thực p tương ứng, mặt phẳng $ \left( BCD \right) $ luôn chứa một đường thẳng $ \left( d \right) $ khi điểm A di động trên đường thẳng $ \left( \Delta \right) $. Góc $ \varphi $ lớn nhất giữa mặt phẳng $ \left( Q \right):2x+4y-3z-10=0 $ và đường thẳng $ \left( d \right)$ có cosin là
A. $\sqrt{\dfrac{57}{58}}$
B. $\sqrt{\dfrac{1}{58}}$
C. $\dfrac{5}{\sqrt{58}}$
D. $\sqrt{\dfrac{33}{58}}$
& x=10+t \\
& y=p-t \\
& z=10+t \\
\end{aligned} \right. $, kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu $ \left( S \right) $ với B, C, D là các tiếp điểm. Biết rằng với mỗi tham số thực p tương ứng, mặt phẳng $ \left( BCD \right) $ luôn chứa một đường thẳng $ \left( d \right) $ khi điểm A di động trên đường thẳng $ \left( \Delta \right) $. Góc $ \varphi $ lớn nhất giữa mặt phẳng $ \left( Q \right):2x+4y-3z-10=0 $ và đường thẳng $ \left( d \right)$ có cosin là
A. $\sqrt{\dfrac{57}{58}}$
B. $\sqrt{\dfrac{1}{58}}$
C. $\dfrac{5}{\sqrt{58}}$
D. $\sqrt{\dfrac{33}{58}}$
Cách 1: Giải tổng quát full tự luận:
Xét điểm $A\left( a;b;c \right), B\left( x;y;z \right)$ ta có: $ $ do đó:
$\left( BCD \right):\left[ 25+{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25 \right]\Leftrightarrow ax+by+cx-25=0$ (*)
Ta có: $A\in \left( \Delta \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=10+t \\
& y=p-t \\
& z=10+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 10+t \right)x+\left( p-t \right)y+\left( 10+t \right)z-25=0$.
Khi đó ta có phương trình $t\left( x-y+z \right)+\left( 10x+py+10z-25 \right)=0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$.
Điều đó xảy ra khi: $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 10x+py+10z-25=0 \\
\end{aligned} \right.$ và đó chính là đường thẳng cố định cần tìm.
Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left( 1;-1;1 \right),\left( 10;p;10 \right) \right]=\left( -p-10;0;10+p \right)\text{ // }\left( 1;0;-1 \right)\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{5}{\sqrt{58}}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{\dfrac{33}{58}}$.
Cách 2: Tư duy ngắn gọn:
Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đường thẳng $\left( \Delta \right)$ trong trường hợp OA vuông góc với $\left( \Delta \right)$. Gọi $A\left( 10+t;p-t;10+t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \left( 10+t \right)-\left( p-t \right)+\left( 10+t \right)=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{p-20}{3}\Rightarrow A\left( \dfrac{p+10}{3};\dfrac{2p+20}{3};\dfrac{p+10}{3} \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{OA}}}=\left( 1;2;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-1;1 \right)$.
Vậy $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{OA}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 3;0;-3 \right)\text{ // }\left( 1;0;-1 \right)$.
Xét điểm $A\left( a;b;c \right), B\left( x;y;z \right)$ ta có: $ $ do đó:
$\left( BCD \right):\left[ 25+{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25 \right]\Leftrightarrow ax+by+cx-25=0$ (*)
Ta có: $A\in \left( \Delta \right):\left\{ \begin{aligned}
& x=10+t \\
& y=p-t \\
& z=10+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 10+t \right)x+\left( p-t \right)y+\left( 10+t \right)z-25=0$.
Khi đó ta có phương trình $t\left( x-y+z \right)+\left( 10x+py+10z-25 \right)=0$ nghiệm đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$.
Điều đó xảy ra khi: $\left( d \right):\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 10x+py+10z-25=0 \\
\end{aligned} \right.$ và đó chính là đường thẳng cố định cần tìm.
Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left( 1;-1;1 \right),\left( 10;p;10 \right) \right]=\left( -p-10;0;10+p \right)\text{ // }\left( 1;0;-1 \right)\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{5}{\sqrt{58}}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{\dfrac{33}{58}}$.
Cách 2: Tư duy ngắn gọn:
Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đường thẳng $\left( \Delta \right)$ trong trường hợp OA vuông góc với $\left( \Delta \right)$. Gọi $A\left( 10+t;p-t;10+t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \left( 10+t \right)-\left( p-t \right)+\left( 10+t \right)=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{p-20}{3}\Rightarrow A\left( \dfrac{p+10}{3};\dfrac{2p+20}{3};\dfrac{p+10}{3} \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{OA}}}=\left( 1;2;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-1;1 \right)$.
Vậy $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{OA}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 3;0;-3 \right)\text{ // }\left( 1;0;-1 \right)$.
Đáp án D.