Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng $(P):x-y+2\text{z}-3=0,(Q):x-y+2\text{z}+3=0$. Có bao nhiêu điểm M có hoành độ nguyên trên tia Ox sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng $(P),(Q)$ bằng khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$.
A. 4
B. 3
C. 6
D. 7
A. 4
B. 3
C. 6
D. 7
Do điểm M thuộc tia Ox nên $M(a;0;0)$ với $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Lấy $A(0;-3;0)\in (P)$. Do $(P)\text{ // }(Q)\Rightarrow d\left( (P),(Q) \right)=d\left( A,(Q) \right)=\dfrac{\left| -(-3)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$.
Ta có $d\left( M,(P) \right)+d\left( M,(Q) \right)=d\left( (P),(Q) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}+\dfrac{\left| a+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| a-3 \right|+\left| a+3 \right|=6$ (1).
+ TH1: Với $a\le -3$ thì (1) $\Leftrightarrow 3-a-a-3=6\Leftrightarrow a=-3$ (loại).
+ TH2: Với $-3<a<3$ thì (1) $\Leftrightarrow -a+3+a+3=6\Leftrightarrow 6=6$ (luôn đúng).
Do $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $a\in \left\{ 1;2 \right\}$.
+ TH3: Với $a\ge 3$ thì (1) $\Leftrightarrow a-3+a+3=6\Leftrightarrow a=3$ (thỏa mãn).
Vậy có 3 điểm M có hoành độ nguyên thuộc tia Ox thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lấy $A(0;-3;0)\in (P)$. Do $(P)\text{ // }(Q)\Rightarrow d\left( (P),(Q) \right)=d\left( A,(Q) \right)=\dfrac{\left| -(-3)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$.
Ta có $d\left( M,(P) \right)+d\left( M,(Q) \right)=d\left( (P),(Q) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| a-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}+\dfrac{\left| a+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \left| a-3 \right|+\left| a+3 \right|=6$ (1).
+ TH1: Với $a\le -3$ thì (1) $\Leftrightarrow 3-a-a-3=6\Leftrightarrow a=-3$ (loại).
+ TH2: Với $-3<a<3$ thì (1) $\Leftrightarrow -a+3+a+3=6\Leftrightarrow 6=6$ (luôn đúng).
Do $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $a\in \left\{ 1;2 \right\}$.
+ TH3: Với $a\ge 3$ thì (1) $\Leftrightarrow a-3+a+3=6\Leftrightarrow a=3$ (thỏa mãn).
Vậy có 3 điểm M có hoành độ nguyên thuộc tia Ox thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.