Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song $\left( \alpha \right):2x-y+2z+2m-5=0$ và $\left( \beta \right):2x-y+2z+n+8=0$ ( $m,n$ là tham số thực) lần lượt cắt mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=15$ theo hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ sao cho hai đường tròn này là hai đáy của một hình trụ. Tìm giá trị của biểu thức $\left| 2m-n-13 \right|$ khi thể tích của khối trụ tương ứng lớn nhất.
A. $\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$.
B. $10\sqrt{3}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$.
B. $10\sqrt{3}$.
C. $5\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $O\left( 0;0;0 \right)$ và bán kính $R=5$.
Để hai mặt phẳng cắt mặt cầu $\left( S \right)$ như yêu cầu đề bài thì hai điều kiện sau phải thỏa mãn:
(i) Hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ có bán kính bằng nhau tâm của mặt cầu cách đều hai mặt phẳng.
(ii) Hai mặt phẳng đều cắt mặt cầu.
Hai mặt phẳng không được trùng nhau: $2m-5\ne n+8\Leftrightarrow 2m-n\ne 13$.
Với điều kiện (i): Ta có $d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2m-5 \right|}{3}$ và $d\left( O,\left( \beta \right) \right)=\dfrac{\left| n+8 \right|}{3}$
Để $d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=d\left( O,\left( \beta \right) \right)\Leftrightarrow \left| 2m-5 \right|=\left| n+8 \right|\Leftrightarrow 5-2m=n+8\Leftrightarrow n=-2m-3\left( \text{do }2m-5\ne n+8 \right)$.
Với điều kiện (ii): Gọi $h=d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=d\left( O;\left( \beta \right) \right)$, ta có $\left( ii \right)\Leftrightarrow 0<h<R\Leftrightarrow 0<h<5$.
Dễ thấy $h=d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=d\left( O;\left( \beta \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left[ \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right]=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 2m-n-13 \right|}{3}$.
Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ chính là chiều cao ${h}'$ của hình trụ ${h}'=2h$.
Bán kính $r$ của giao tuyến giữa mỗi mặt phẳng và mặt cầu (tức đường tròn đáy của hình trụ) là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{25-{{h}^{2}}}$.
Thể tích của khối trụ: $V=\pi {{r}^{2}}{h}'=\pi \left( 25-{{h}^{2}} \right).2h=2\pi \left( 25h-{{h}^{3}} \right)$.
Xét hàm số $V\left( h \right)=2\pi \left( 25h-{{h}^{3}} \right)$ trên $0<h<5$.
Ta có: ${V}'\left( h \right)=2\pi \left( 25-3{{h}^{2}} \right);{V}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=-\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ (loại) và $h=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ (thỏa mãn).
Lập bảng biến thiên của hàm số $V\left( h \right)$ trên $\left( 0;5 \right)$ ta được
$\Leftrightarrow h=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 2m-n-13 \right|}{3}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \left| 2m-n-13 \right|=10\sqrt{3}$.
Để hai mặt phẳng cắt mặt cầu $\left( S \right)$ như yêu cầu đề bài thì hai điều kiện sau phải thỏa mãn:
(i) Hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ có bán kính bằng nhau tâm của mặt cầu cách đều hai mặt phẳng.
(ii) Hai mặt phẳng đều cắt mặt cầu.
Hai mặt phẳng không được trùng nhau: $2m-5\ne n+8\Leftrightarrow 2m-n\ne 13$.
Với điều kiện (i): Ta có $d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2m-5 \right|}{3}$ và $d\left( O,\left( \beta \right) \right)=\dfrac{\left| n+8 \right|}{3}$
Để $d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=d\left( O,\left( \beta \right) \right)\Leftrightarrow \left| 2m-5 \right|=\left| n+8 \right|\Leftrightarrow 5-2m=n+8\Leftrightarrow n=-2m-3\left( \text{do }2m-5\ne n+8 \right)$.
Với điều kiện (ii): Gọi $h=d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=d\left( O;\left( \beta \right) \right)$, ta có $\left( ii \right)\Leftrightarrow 0<h<R\Leftrightarrow 0<h<5$.
Dễ thấy $h=d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=d\left( O;\left( \beta \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left[ \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right]=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 2m-n-13 \right|}{3}$.
Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ chính là chiều cao ${h}'$ của hình trụ ${h}'=2h$.
Bán kính $r$ của giao tuyến giữa mỗi mặt phẳng và mặt cầu (tức đường tròn đáy của hình trụ) là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{25-{{h}^{2}}}$.
Thể tích của khối trụ: $V=\pi {{r}^{2}}{h}'=\pi \left( 25-{{h}^{2}} \right).2h=2\pi \left( 25h-{{h}^{3}} \right)$.
Xét hàm số $V\left( h \right)=2\pi \left( 25h-{{h}^{3}} \right)$ trên $0<h<5$.
Ta có: ${V}'\left( h \right)=2\pi \left( 25-3{{h}^{2}} \right);{V}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=-\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ (loại) và $h=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ (thỏa mãn).
Lập bảng biến thiên của hàm số $V\left( h \right)$ trên $\left( 0;5 \right)$ ta được
$\underset{h\in \left( 0;5 \right)}{\mathop{\max }} V\left( h \right)=V\left( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \right)=\dfrac{500\sqrt{3}}{9}\pi $.
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất$\Leftrightarrow h=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 2m-n-13 \right|}{3}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \left| 2m-n-13 \right|=10\sqrt{3}$.
Đáp án B.