Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x-y+2z+1=0$, $(Q):2x+y+z-1=0$. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu.
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Gọi $I(a;0;0)$ là tâm của mặt cầu (S) có bán kính R
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ${{d}_{1}}=\dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{6}};{{d}_{2}}=\dfrac{\left| 2a-1 \right|}{\sqrt{6}}$
Theo giả thiết, ta có ${{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{(a+1)}^{2}}}{6}+4=\dfrac{{{(2a-1)}^{2}}}{6}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a+25=4{{a}^{2}}-4a+1+6{{r}^{2}}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-6a+6{{r}^{2}}-24=0$ (*)
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta '=0$
$\Leftrightarrow {{(-3)}^{2}}-3.(6{{r}^{2}}-24)=0\Leftrightarrow 18{{r}^{2}}=81\Leftrightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
$(P):ax+by+cz+d=0$ là ${{d}_{(M;(P))}}=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Phương trình bậc 2 có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0$
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là ${{d}_{1}}=\dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{6}};{{d}_{2}}=\dfrac{\left| 2a-1 \right|}{\sqrt{6}}$
Theo giả thiết, ta có ${{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{(a+1)}^{2}}}{6}+4=\dfrac{{{(2a-1)}^{2}}}{6}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a+25=4{{a}^{2}}-4a+1+6{{r}^{2}}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-6a+6{{r}^{2}}-24=0$ (*)
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta '=0$
$\Leftrightarrow {{(-3)}^{2}}-3.(6{{r}^{2}}-24)=0\Leftrightarrow 18{{r}^{2}}=81\Leftrightarrow r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Note 54: Phương pháp chung
Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ đến mặt phẳng$(P):ax+by+cz+d=0$ là ${{d}_{(M;(P))}}=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
Phương trình bậc 2 có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0$
Đáp án D.