Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-y+2z+1=0,\left( Q \right):2x+y+z-1=0.$ Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Q \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa yêu cầu.
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
A. $r=\sqrt{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
C. $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
D. $r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
Gọi $I\left( a;0;0 \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính R.
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ lần lượt là ${{d}_{1}}=\dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{6}};{{d}_{2}}=\dfrac{\left| 2a-1 \right|}{\sqrt{6}}.$
Bài ra ta có ${{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{6}{{\left( a+1 \right)}^{2}}+4=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a+1+24=4{{a}^{2}}-4a+1+6{{r}^{2}}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-6a+6{{r}^{2}}-24=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+2{{r}^{2}}-8=0$
$\Rightarrow \text{{ }\!\!\Delta\!\!'}=1-\left( 2{{r}^{2}}-8 \right)=0\Rightarrow r=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$ Chọn D
Khoảng cách từ tâm I đến hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ lần lượt là ${{d}_{1}}=\dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{6}};{{d}_{2}}=\dfrac{\left| 2a-1 \right|}{\sqrt{6}}.$
Bài ra ta có ${{R}^{2}}=d_{1}^{2}+{{2}^{2}}=d_{2}^{2}+{{r}^{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{6}{{\left( a+1 \right)}^{2}}+4=\dfrac{1}{6}{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{r}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a+1+24=4{{a}^{2}}-4a+1+6{{r}^{2}}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-6a+6{{r}^{2}}-24=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+2{{r}^{2}}-8=0$
$\Rightarrow \text{{ }\!\!\Delta\!\!'}=1-\left( 2{{r}^{2}}-8 \right)=0\Rightarrow r=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$ Chọn D
Đáp án D.