Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$ và $d':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{1}$. Mặt phẳng $(P):ax+by+cz+2=0$ chứa d và tạo với d' một góc lớn nhất. Tính $a+b+c$
A. $1$
B. $4$
C. $2$
D. $3$
A. $1$
B. $4$
C. $2$
D. $3$
Lấy $A(1;-2;1)\in d$, qua A kẻ $d''//d'\Rightarrow d'':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$
Lấy $I(0;-3;0)\in d''$, kẻ $IH\bot (P),IK\bot d$ (K cố định và H thay đổi)
Ta có $\widehat{(d';(P))}=\widehat{(d'';(P))}=\widehat{IAH}$ mà $\sin \overset\frown{IAH}=\dfrac{IH}{IA}\le \dfrac{IK}{IA}$ (const)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\equiv K$ hay $IK\bot (P)$
Điểm $K\in d\Rightarrow K(t+1;-t-2;t+1)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t+1;1-t;t+1)$
Khi đó $IK\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow (t+1)-(1-t)+(t+1)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ là một VTPT nên nhận $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$ là một VTPT
Kết hợp với (P) qua $A(1;-2;1)$
$\Rightarrow (P):(x-1)+2(y+2)+(z-1)=0\Leftrightarrow x+2y+z+2=0$
Lấy $I(0;-3;0)\in d''$, kẻ $IH\bot (P),IK\bot d$ (K cố định và H thay đổi)
Ta có $\widehat{(d';(P))}=\widehat{(d'';(P))}=\widehat{IAH}$ mà $\sin \overset\frown{IAH}=\dfrac{IH}{IA}\le \dfrac{IK}{IA}$ (const)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\equiv K$ hay $IK\bot (P)$
Điểm $K\in d\Rightarrow K(t+1;-t-2;t+1)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t+1;1-t;t+1)$
Khi đó $IK\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow (t+1)-(1-t)+(t+1)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3} \right)$ là một VTPT nên nhận $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$ là một VTPT
Kết hợp với (P) qua $A(1;-2;1)$
$\Rightarrow (P):(x-1)+2(y+2)+(z-1)=0\Leftrightarrow x+2y+z+2=0$
Đáp án B.