Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$ và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là:
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=\dfrac{5}{2}-t \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=6-2t \\
& y=\dfrac{5}{2}+t \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=12-t \\
& y=5 \\
& z=-9+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right.$
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6 \\
& y=\dfrac{5}{2}-t \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=6-2t \\
& y=\dfrac{5}{2}+t \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=12-t \\
& y=5 \\
& z=-9+t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=6-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2a;a;-2-a \right) \\
& B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 1+b;-2+3b;2-2b \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( b-2a;3b-a-2;-2b+a+4 \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( b-2a;3b-a-2;-2b+a+4 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
(P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( 1;1;1 \right)$.
$\Delta \text{//}\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow b=a-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( -a-1;2a-5;-a+6 \right)$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}-30a+62\ge 6{{\left( a-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{49}{2}\ge \dfrac{49}{2}$
$A{{B}_{\min }}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ khi $a=\dfrac{5}{2}\Rightarrow A\left( 6;\dfrac{5}{2};\dfrac{-9}{2} \right), \overrightarrow{AB}=\dfrac{7}{2}\left( -1;0;1 \right).$
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=6-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t. \\
\end{aligned} \right.$.
& A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1+2a;a;-2-a \right) \\
& B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 1+b;-2+3b;2-2b \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( b-2a;3b-a-2;-2b+a+4 \right).$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( b-2a;3b-a-2;-2b+a+4 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
(P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( 1;1;1 \right)$.
$\Delta \text{//}\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow b=a-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left( -a-1;2a-5;-a+6 \right)$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}-30a+62\ge 6{{\left( a-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{49}{2}\ge \dfrac{49}{2}$
$A{{B}_{\min }}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ khi $a=\dfrac{5}{2}\Rightarrow A\left( 6;\dfrac{5}{2};\dfrac{-9}{2} \right), \overrightarrow{AB}=\dfrac{7}{2}\left( -1;0;1 \right).$
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=6-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=\dfrac{-9}{2}+t. \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.