Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,{d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng Δ cắt $ d,{d}'$ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là
A. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$
B. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$
D. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,{d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng Δ cắt $ d,{d}'$ lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là
A. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$
B. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$
D. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
$\Delta \cap d=A\left( 1+t;2-t;t \right),\Delta \cap d=B\left( 2{t}';1+{t}';2+{t}' \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}'}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-t-1-{t}'-t+1+{t}'-t+2=0 \\
& 4{t}'-2t-2+{t}'+t-1+{t}'-t+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-3t=-2 \\
& 6{t}'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A(2;1;1),\overrightarrow{AB}=\left( -1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$. AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc chung của $d,{d}'$. Vậy Δ đi qua $A(2;1;1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}=(-2;1;3)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}'}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-t-1-{t}'-t+1+{t}'-t+2=0 \\
& 4{t}'-2t-2+{t}'+t-1+{t}'-t+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{t}'-3t=-2 \\
& 6{t}'-2t=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=\dfrac{1}{2} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A(2;1;1),\overrightarrow{AB}=\left( -1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$. AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc chung của $d,{d}'$. Vậy Δ đi qua $A(2;1;1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}=(-2;1;3)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$.
Đáp án D.