Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $, $ {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng $ \Delta $ cắt $ d $, $ {d}' $ lần lượt tại A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng B nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $ \Delta $ là
A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$
B. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$
D. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$
& x=1+t \\
& y=2-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $, $ {d}':\left\{ \begin{aligned}
& x=2{t}' \\
& y=1+{t}' \\
& z=2+{t}' \\
\end{aligned} \right. $. Đường thẳng $ \Delta $ cắt $ d $, $ {d}' $ lần lượt tại A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng B nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $ \Delta $ là
A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}$
B. $\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{3}$
D. $\dfrac{x-4}{-2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$
Để AB nhỏ nhất $\Leftrightarrow AB$ là đoạn vuông góc chung của $d, {d}'$
Gọi $A\in d\Rightarrow A\left( 1+a; 2-a; a \right)$ và $B\in {d}'\Rightarrow B\left( 2b; 1+b; 2+b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 2b-a-1; a+b-1; b-a+2 \right)$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \text{d} \\
& AB\bot \text{{d}'} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\text{a}+2b+2=0 \\
& -2\text{a}+6b-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\overrightarrow{AB}=\left( -1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
Gọi $A\in d\Rightarrow A\left( 1+a; 2-a; a \right)$ và $B\in {d}'\Rightarrow B\left( 2b; 1+b; 2+b \right)$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 2b-a-1; a+b-1; b-a+2 \right)$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \text{d} \\
& AB\bot \text{{d}'} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
& \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3\text{a}+2b+2=0 \\
& -2\text{a}+6b-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\overrightarrow{AB}=\left( -1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{3}$
Đáp án B.