Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=3+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=7+3s \\
& y=1-s \\
& z=5-s \\
\end{aligned} \right..$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng.
A. $\sqrt{31}.$
B. $6\sqrt{2}.$
C. $\sqrt{62}.$
D. $4\sqrt{2}.$
& x=-1+t \\
& y=3+2t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=7+3s \\
& y=1-s \\
& z=5-s \\
\end{aligned} \right..$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng.
A. $\sqrt{31}.$
B. $6\sqrt{2}.$
C. $\sqrt{62}.$
D. $4\sqrt{2}.$
Cách 1:
Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right).$
Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right).$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right),\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right),\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên d1 và d2 chéo nhau.
Khoảng cách giữa d1 và d2 là d $\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\sqrt{62}.$
Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}.$
Cách 2:
Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right).$
Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right).$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right),\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right),$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên d1 và d2 chéo nhau.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.
Suy ra $\left( P \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right).$
Phương trình $\left( P \right)$ là: $-3\left( x+1 \right)-2\left( y-3 \right)-7\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x+2y+7z+4=0.$
Ta có $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 62 \right|}{\sqrt{9+4+49}}=\sqrt{62}.$ Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}.$
Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right).$
Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right).$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right),\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right),\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên d1 và d2 chéo nhau.
Khoảng cách giữa d1 và d2 là d $\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}=\sqrt{62}.$
Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}.$
Cách 2:
Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right).$
Đường thẳng d2 có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 7;1;5 \right).$
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right),\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 8;-2;6 \right),$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-62\ne 0$ nên d1 và d2 chéo nhau.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.
Suy ra $\left( P \right)$ đi qua ${{M}_{1}}\left( -1;3;-1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( -3;-2;-7 \right).$
Phương trình $\left( P \right)$ là: $-3\left( x+1 \right)-2\left( y-3 \right)-7\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x+2y+7z+4=0.$
Ta có $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 62 \right|}{\sqrt{9+4+49}}=\sqrt{62}.$ Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{62}.$
Đáp án C.