Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $B\left( 2;-1;-3 \right),C\left( -6;-1;3 \right)$. Trong các tam giác $ABC$ thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau, điểm $A\left( a;b;0 \right)$, $\left( b>0 \right)$ sao cho giá trị của $\cos A$ nhỏ nhất. Tính $a+b.$
A. 10.
B. 8.
C. 12.
D. 14.
A. 10.
B. 8.
C. 12.
D. 14.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,AB.$
Gọi $P=BM\cap CN$, ta có $BM\bot CN$ nên $B{{C}^{2}}=B{{P}^{2}}+C{{P}^{2}}.$
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có
$B{{P}^{2}}={{\left( \dfrac{2}{3}BM \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{2\left( B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}{4},$
$C{{P}^{2}}={{\left( \dfrac{2}{3}CN \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{2\left( C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow B{{C}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+4B{{C}^{2}}}{9}\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}.$
Ta có $\cos A=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AB.AC}=\dfrac{5\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)-\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)}{10AB.AC}$
$=\dfrac{2}{5}.\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{AB.AC}\ge \dfrac{2}{5}.\dfrac{2AB.AC}{AB.AC}=\dfrac{4}{5},$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=AC.$
Ta có $A\left( a;b;0 \right),b>0$ và $B\left( 2;-1;-3 \right),C\left( -6;-1;3 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 2-a;-1-b;-3 \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -6-a;-1-b;3 \right)\Rightarrow A{{C}^{2}}={{\left( a+6 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
\end{aligned} \right.$
Ép cho $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow 4-4a=36+12a\Leftrightarrow a=-2.$
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -8;0;6 \right)\Rightarrow B{{C}^{2}}=100.$ Khi đó từ $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}$ và $AB=AC$
$\Rightarrow 2\left[ {{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \right]=5.100\Rightarrow {{4}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9=250.$
Kết hợp với $b>0$ ta được $b=14$ thỏa mãn $\Rightarrow a+b=12.$
Gọi $P=BM\cap CN$, ta có $BM\bot CN$ nên $B{{C}^{2}}=B{{P}^{2}}+C{{P}^{2}}.$
Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có
$B{{P}^{2}}={{\left( \dfrac{2}{3}BM \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{2\left( B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}}}{4},$
$C{{P}^{2}}={{\left( \dfrac{2}{3}CN \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{2\left( C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}} \right)-A{{B}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow B{{C}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+4B{{C}^{2}}}{9}\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}.$
Ta có $\cos A=\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AB.AC}=\dfrac{5\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)-\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)}{10AB.AC}$
$=\dfrac{2}{5}.\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{AB.AC}\ge \dfrac{2}{5}.\dfrac{2AB.AC}{AB.AC}=\dfrac{4}{5},$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=AC.$
Ta có $A\left( a;b;0 \right),b>0$ và $B\left( 2;-1;-3 \right),C\left( -6;-1;3 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 2-a;-1-b;-3 \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -6-a;-1-b;3 \right)\Rightarrow A{{C}^{2}}={{\left( a+6 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \\
\end{aligned} \right.$
Ép cho $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow 4-4a=36+12a\Leftrightarrow a=-2.$
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -8;0;6 \right)\Rightarrow B{{C}^{2}}=100.$ Khi đó từ $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=5B{{C}^{2}}$ và $AB=AC$
$\Rightarrow 2\left[ {{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9 \right]=5.100\Rightarrow {{4}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+9=250.$
Kết hợp với $b>0$ ta được $b=14$ thỏa mãn $\Rightarrow a+b=12.$
Đáp án C.