Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 5;-3;2...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (5; - 3; 2), B (3; 0; - 4)

nằm về hai phía của mặt phẳng

(P) .

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(P)

bằng 3 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(P)

bằng 4. Mặt phẳng

(P)

đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
A.

(- 2; 4; - 1) .

B.

(2; - 4; 1) .

C.

(- 2; - 4; 1) .

D.

(2; - 4; - 1) .

Kẻ

A H ⊥ (P), B K ⊥ (P),

với

H, K \in (P) \Rightarrow {\begin{aligned} A H = d (A; (P)) = 3 \\ B K = d (B; (P)) = 4 \end{aligned}

Gọi

M = A B \cap H K,

ta có:

A H \leq A M, B K \leq B M \Rightarrow A H + B K \leq A M + B M = A B \Rightarrow A B \geq 3 + 4 = 7

Mà

\vec{A B} = (- 2; 3; - 6) \Rightarrow A B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + {(- 6)}^{2}} = 7

Do đó cần phải có H ở giữa A và B.
Khi đó

7. \vec{A H} = 3. \vec{A B} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 7 (x_{H} - 5) = - 6 \\ 7 (y_{H} + 3) = 9 \\ 7 (z_{H} - 2) = - \frac{4}{7} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x_{H} = \frac{29}{7} \\ y_{H} = - \frac{12}{7} \\ z_{H} = - \frac{4}{7} \end{aligned} \Rightarrow H (\frac{29}{7}; - \frac{12}{7}; - \frac{4}{7}) .

Mặt phẳng

(P)

qua H và nhận

\vec{A B} = (- 2; 3; - 6)

là một VTPT

\Rightarrow (P) : - 2 (x - \frac{29}{7}) + 3 (y + \frac{12}{7}) - 6 (z + \frac{4}{7}) = 0

\Leftrightarrow - 2 x + 3 y - 6 z + 10 = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y + 6 z - 10 = 0.

Đáp án D.