Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 5;-3;2 \right),B\left( 3;0;-4 \right)$ nằm về hai phía của mặt phẳng $\left( P \right).$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng 3 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng 4. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?
A. $\left( -2;4;-1 \right).$
B. $\left( 2;-4;1 \right).$
C. $\left( -2;-4;1 \right).$
D. $\left( 2;-4;-1 \right).$
Kẻ $AH\bot \left( P \right),BK\bot \left( P \right),$ với $H,K\in \left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AH=d\left( A;\left( P \right) \right)=3 \\
& BK=d\left( B;\left( P \right) \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M=AB\cap HK,$ ta có:
$AH\le AM,BK\le BM\Rightarrow AH+BK\le AM+BM=AB\Rightarrow AB\ge 3+4=7$
Mà $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-6 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=7$
Do đó cần phải có H ở giữa A và B.
Khi đó
$7.\overrightarrow{AH}=3.\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7\left( x{_{H}}-5 \right)=-6 \\
& 7\left( {{y}_{H}}+3 \right)=9 \\
& 7\left( {{z}_{H}}-2 \right)=-\dfrac{4}{7} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{29}{7} \\
& {{y}_{H}}=-\dfrac{12}{7} \\
& {{z}_{H}}=-\dfrac{4}{7} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{29}{7};-\dfrac{12}{7};-\dfrac{4}{7} \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua H và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-6 \right)$ là một VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):-2\left( x-\dfrac{29}{7} \right)+3\left( y+\dfrac{12}{7} \right)-6\left( z+\dfrac{4}{7} \right)=0$
$\Leftrightarrow -2x+3y-6z+10=0\Leftrightarrow 2x-3y+6z-10=0.$
A. $\left( -2;4;-1 \right).$
B. $\left( 2;-4;1 \right).$
C. $\left( -2;-4;1 \right).$
D. $\left( 2;-4;-1 \right).$
Kẻ $AH\bot \left( P \right),BK\bot \left( P \right),$ với $H,K\in \left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AH=d\left( A;\left( P \right) \right)=3 \\
& BK=d\left( B;\left( P \right) \right)=4 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M=AB\cap HK,$ ta có:
$AH\le AM,BK\le BM\Rightarrow AH+BK\le AM+BM=AB\Rightarrow AB\ge 3+4=7$
Mà $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-6 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -6 \right)}^{2}}}=7$
Do đó cần phải có H ở giữa A và B.
Khi đó
$7.\overrightarrow{AH}=3.\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7\left( x{_{H}}-5 \right)=-6 \\
& 7\left( {{y}_{H}}+3 \right)=9 \\
& 7\left( {{z}_{H}}-2 \right)=-\dfrac{4}{7} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{29}{7} \\
& {{y}_{H}}=-\dfrac{12}{7} \\
& {{z}_{H}}=-\dfrac{4}{7} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{29}{7};-\dfrac{12}{7};-\dfrac{4}{7} \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua H và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-6 \right)$ là một VTPT
$\Rightarrow \left( P \right):-2\left( x-\dfrac{29}{7} \right)+3\left( y+\dfrac{12}{7} \right)-6\left( z+\dfrac{4}{7} \right)=0$
$\Leftrightarrow -2x+3y-6z+10=0\Leftrightarrow 2x-3y+6z-10=0.$
Đáp án D.