Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 4;-2;4 \right),B\left( -2;6;4 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ M $ là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}=90{}^\circ $ và $ N $ là điểm di động luôn cách $ d $ một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một khoảng không quá 3 đơn vị. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $ MN$ bằng
A. $3\sqrt{11}+1$.
B. $\sqrt{58}+1$.
C. $3\sqrt{10}+1$.
D. $11$.
Ta có $A\left( 4;-2;4 \right),B\left( -2;6;4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -6;8;0 \right)\Rightarrow AB=10\Rightarrow IM=5.$
$\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( 4;-3;0 \right)\Rightarrow I{{I}_{1}}=5.$
Gọi $I'$ là trung điểm của $A,B\Rightarrow I'\left( 1;2;4 \right).$ $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\widehat{AMB}=90{}^\circ $,khi đó $M$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( 1;2;0 \right)$, bán kính $R=3.$
Phương trình đường tròn $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right..$.
$N$ là điểm di động luôn cách $d$ một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một khoảng không quá 3 đơn vị thì điểm $N$ nằm trên mặt trụ có bán kính ${{r}_{1}}=1$, chiều cao trụ không quá 3. Khi đó $MN$ nhỏ nhất khi $MN=I{{I}_{1}}-R-{{r}_{1}}=5-3-1=1.$
Khi đó $MN$ lớn nhất khi $MN=\sqrt{{{\left( MN' \right)}^{2}}+{{\left( NN' \right)}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{10}.$
Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $MN=3\sqrt{10}+1.$
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Gọi $ M $ là điểm di động thuộc mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ sao cho $ \widehat{AMB}=90{}^\circ $ và $ N $ là điểm di động luôn cách $ d $ một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một khoảng không quá 3 đơn vị. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $ MN$ bằng
A. $3\sqrt{11}+1$.
B. $\sqrt{58}+1$.
C. $3\sqrt{10}+1$.
D. $11$.
$\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( 4;-3;0 \right)\Rightarrow I{{I}_{1}}=5.$
Gọi $I'$ là trung điểm của $A,B\Rightarrow I'\left( 1;2;4 \right).$ $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\widehat{AMB}=90{}^\circ $,khi đó $M$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( 1;2;0 \right)$, bán kính $R=3.$
Phương trình đường tròn $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right..$.
$N$ là điểm di động luôn cách $d$ một khoảng là 1 đơn vị và cách mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một khoảng không quá 3 đơn vị thì điểm $N$ nằm trên mặt trụ có bán kính ${{r}_{1}}=1$, chiều cao trụ không quá 3. Khi đó $MN$ nhỏ nhất khi $MN=I{{I}_{1}}-R-{{r}_{1}}=5-3-1=1.$
Khi đó $MN$ lớn nhất khi $MN=\sqrt{{{\left( MN' \right)}^{2}}+{{\left( NN' \right)}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{10}.$
Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $MN=3\sqrt{10}+1.$
Đáp án C.
