Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 3;5;-1 \right)$ và...

Gọi I là trung điểm đoạn AB. Ta có $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI.$
$\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt phẳng (Oxy): $z=0.$
Đường thẳng IM đi qua $I\left( 2;3;1 \right)$ và vuông góc mặt phẳng (Oxy) nên nhận $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$ làm véctơ chỉ phương. Phương trình $IM:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=3 \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right..$
Vì $M=IM\cap \left( Oxy \right)$ nên tọa độ M là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=3 \\
& z=1+t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=3 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.. $Vậy$ M\left( 2;3;0 \right).$