Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3 ; 1 ; -3 \right)$, $B\left( 0 ; -2 ; 3 \right)$ và mặt cầu $( S ): {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$. Xét điểm $M$ thay đổi luôn thuộc mặt cầu $( S )$, giá trị lớn nhất của $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ bằng
A. $102$.
B. $78$.
C. $84$.
D. $52$.
A. $102$.
B. $78$.
C. $84$.
D. $52$.
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( 1 ; -1 ;1 \right)$.
Ta có $T=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}=3M{{I}^{2}}+36$.
Mặt cầu $( S )$ có tâm $J\left( -1 ; 0 ; 3 \right)$, bán kính $R=1$.
Ta có: $IJ>R\Rightarrow I$ nằm ngoài mặt cầu $( S )$.
Ta có: $T$ lớn nhất $\Leftrightarrow IM$ lớn nhất.
Mà $I{{M}_{\max }}=IJ+R=3+1=4$.
Do đó: ${{T}_{\max }}={{3.4}^{2}}+36=84.$
Ta có $T=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}=3M{{I}^{2}}+36$.
Mặt cầu $( S )$ có tâm $J\left( -1 ; 0 ; 3 \right)$, bán kính $R=1$.
Ta có: $IJ>R\Rightarrow I$ nằm ngoài mặt cầu $( S )$.
Ta có: $T$ lớn nhất $\Leftrightarrow IM$ lớn nhất.
Mà $I{{M}_{\max }}=IJ+R=3+1=4$.
Do đó: ${{T}_{\max }}={{3.4}^{2}}+36=84.$
Đáp án C.