Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3 ;1 ;-3 \right)$, $B\left( 0 ;-2 ;3 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$. Xét điểm $M$ thay đổi thuộc mặt cầu $\left( S \right)$, giá trị lớn nhất của $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ bằng
A. $102$.
B. $78$.
C. $84$.
D. $52$.
Xét điểm $C$ thỏa $\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}=\vec{0}$. Ta có
$\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB} \right)\Rightarrow C\left( 1 ;-1 ;1 \right)$.
$C{{A}^{2}}=24$, $C{{B}^{2}}=6$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1 ;0 ;3 \right)$ và bán kính $R=1$.
Suy ra $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB} \right)}^{2}}$. $=3M{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}+2C{{B}^{2}}$ $=3M{{C}^{2}}+36$
Mà $MC-MI\le CI\Rightarrow MC\le CI+R=4$ (Dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng với ${{M}_{0}}$ trên hình vẽ).
Vậy $\max \left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)=3.16+36=84$.
A. $102$.
B. $78$.
C. $84$.
D. $52$.
Xét điểm $C$ thỏa $\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}=\vec{0}$. Ta có
$\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB} \right)\Rightarrow C\left( 1 ;-1 ;1 \right)$.
$C{{A}^{2}}=24$, $C{{B}^{2}}=6$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1 ;0 ;3 \right)$ và bán kính $R=1$.
Suy ra $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB} \right)}^{2}}$. $=3M{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}+2C{{B}^{2}}$ $=3M{{C}^{2}}+36$
Mà $MC-MI\le CI\Rightarrow MC\le CI+R=4$ (Dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng với ${{M}_{0}}$ trên hình vẽ).
Vậy $\max \left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)=3.16+36=84$.
Đáp án C.