Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;2;1 \right)$, $B\left( -\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} \right)$. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$ có phương trình là
A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{2}.$
B. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}.$
C. $\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}.$
D. $\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}.$
A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{2}.$
B. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}.$
C. $\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}.$
D. $\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}.$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB.$ Khi đó $OA.\overrightarrow{I\text{O}}+OB.\overrightarrow{IA}+OA.\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\left( * \right)$. Ta có $OA=3,OB=4,AB=5;$
$\overrightarrow{IO}=\left( -a;-b;-c \right),\overrightarrow{IA}=\left( 2-a;2-b;1-c \right),\overrightarrow{IB}=\left( \dfrac{-8}{3}-a;\dfrac{4}{3}-b;\dfrac{8}{3}-c \right).$
Từ (*) ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -5a+4\left( 2-a \right)+3\left( -\dfrac{8}{3}-a \right)=0 \\
& -5b+4\left( 2-b \right)+3\left( \dfrac{4}{3}-b \right)=0 \\
& -5c+4\left( 1-c \right)+3\left( \dfrac{8}{3}-c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.. $ Do đó $ I\left( 0;1;1 \right).$
Mặt khác, ta có: $\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 4;-8;8 \right)$. Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;2 \right)$. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}.$
$\overrightarrow{IO}=\left( -a;-b;-c \right),\overrightarrow{IA}=\left( 2-a;2-b;1-c \right),\overrightarrow{IB}=\left( \dfrac{-8}{3}-a;\dfrac{4}{3}-b;\dfrac{8}{3}-c \right).$
Từ (*) ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -5a+4\left( 2-a \right)+3\left( -\dfrac{8}{3}-a \right)=0 \\
& -5b+4\left( 2-b \right)+3\left( \dfrac{4}{3}-b \right)=0 \\
& -5c+4\left( 1-c \right)+3\left( \dfrac{8}{3}-c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.. $ Do đó $ I\left( 0;1;1 \right).$
Mặt khác, ta có: $\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 4;-8;8 \right)$. Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;2 \right)$. Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}.$
Đáp án A.