Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 2;2;1 \right),B\left( \dfrac{-8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} \right)$. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tâm giác OAB và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$ có phương trình là
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$.
B. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}$.
C. $\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}$.
D. $\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}$.
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$.
B. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-8}{-2}=\dfrac{z-4}{2}$.
C. $\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{5}{3}}{-2}=\dfrac{z-\dfrac{11}{6}}{2}$.
D. $\dfrac{x+\dfrac{2}{9}}{1}=\dfrac{y-\dfrac{2}{9}}{-2}=\dfrac{z+\dfrac{5}{9}}{2}$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Ta áp dụng tính chất sau: "Cho tam giác OAB với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, ta có $a.\overrightarrow{IO}+b.\overrightarrow{IA}+c.\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, với $a=AB,b=OB,c=OA$ ".
Ta có: $OA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=3$,
$OB=\sqrt{{{\left( \dfrac{-8}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8}{3} \right)}^{2}}}=4$.
$AB=\sqrt{{{\left( \dfrac{-8}{3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8}{3}-1 \right)}^{2}}}=5$.
$5.\overrightarrow{IO}+4.\overrightarrow{IA}+3.\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}=\dfrac{5.0+4.2+3.\left( \dfrac{-8}{3} \right)}{3+4+5}=0 \\
& {{y}_{I}}=\dfrac{5.0+4.2+3.\left( \dfrac{4}{3} \right)}{3+4+5}=1 \\
& {{z}_{I}}=\dfrac{5.0+4.1+3.\left( \dfrac{8}{3} \right)}{3+4+5}=1 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó tâm $ I\left( 0;1;1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( OAB \right)$. Khi đó: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 4;-8;8 \right)=4\left( 1;-2;2 \right)$.
Gọi $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$.
Suy ra vectơ chỉ phương của $\left( \Delta \right)$ : $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-2;2 \right)$.
Kết luận: Phương trình chính tắc của $\left( \Delta \right):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$.
Ta có: $OA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=3$,
$OB=\sqrt{{{\left( \dfrac{-8}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8}{3} \right)}^{2}}}=4$.
$AB=\sqrt{{{\left( \dfrac{-8}{3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{3}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{8}{3}-1 \right)}^{2}}}=5$.
$5.\overrightarrow{IO}+4.\overrightarrow{IA}+3.\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}=\dfrac{5.0+4.2+3.\left( \dfrac{-8}{3} \right)}{3+4+5}=0 \\
& {{y}_{I}}=\dfrac{5.0+4.2+3.\left( \dfrac{4}{3} \right)}{3+4+5}=1 \\
& {{z}_{I}}=\dfrac{5.0+4.1+3.\left( \dfrac{8}{3} \right)}{3+4+5}=1 \\
\end{aligned} \right. $. Do đó tâm $ I\left( 0;1;1 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( OAB \right)$. Khi đó: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 4;-8;8 \right)=4\left( 1;-2;2 \right)$.
Gọi $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$.
Suy ra vectơ chỉ phương của $\left( \Delta \right)$ : $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-2;2 \right)$.
Kết luận: Phương trình chính tắc của $\left( \Delta \right):\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{2}$.
Đáp án A.