Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;5;2 \right),B\left( 5;13;10 \right)$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Xét điểm $M$ di động trên $\left( S \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( S \right)$ tại $M$ cắt các mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $A,B$ lần lượt tại $E$ và $F$. Khi $AE$ vuông góc với $BF$ và $ME=\dfrac{5}{2}MF$ thì độ dài đoạn $OE$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $5\sqrt{6}$
B. $\sqrt{105}$.
C. $6\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{30}$.
A. $5\sqrt{6}$
B. $\sqrt{105}$.
C. $6\sqrt{5}$.
D. $3\sqrt{30}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;9;6 \right),R=IA=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=6$. Ta đi tìm quỹ tích điểm $E$ dựa trên giả thiết đề bài cho.
Trước tiên $\overrightarrow{AB}\left( 4;8;8 \right)//\left( 1;2;2 \right)\Rightarrow E\in \left( P \right):x+2y+2z-15=0$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $A$. Vì $EA,EM;FB,FM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ nên
$EA=EM=a;FB=FM=b,\left( a=\dfrac{5}{2}b \right);EF=ME+MF=a+b$.
$\text{Do }\!\!~\!\!AE\bot BF;AE\bot AB\Rightarrow AE\bot \left( ABF \right)\Rightarrow AE\bot AF$ $\Rightarrow A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}}=E{{F}^{2}}\Leftrightarrow A{{E}^{2}}+\left( A{{B}^{2}}+B{{F}^{2}} \right)={{(ME+MF)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+4{{R}^{2}}+{{b}^{2}}={{(a+b)}^{2}}\Leftrightarrow ab=2{{R}^{2}}=72\Rightarrow a=6\sqrt{5};b=\dfrac{12}{\sqrt{5}}\Rightarrow AE=6\sqrt{5}$
Do đó $E\in \left( C \right)$ tâm $A,{{R}_{\left( C \right)}}=AE=6\sqrt{5}$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $\left( P \right)$ $\Rightarrow OH=d\left( O,\left( P \right) \right)=5$ và
$OE=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}\ge \sqrt{O{{H}^{2}}+{{(AE-AH)}^{2}}}=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}-AH \right)}^{2}}}$
$\begin{array}{*{35}{r}}
{} & ~=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}-\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{d}^{2}}\left( O,\left( P \right) \right)+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}+\sqrt{O{{A}^{2}}-{{d}^{2}}\left( O,\left( P \right) \right)} \right)}^{2}}} \\
{} & ~=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 6\sqrt{5}-\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{2}^{2}}-{{5}^{2}}} \right)}^{2}}}=5\sqrt{6} \\
\end{array}$
Trước tiên $\overrightarrow{AB}\left( 4;8;8 \right)//\left( 1;2;2 \right)\Rightarrow E\in \left( P \right):x+2y+2z-15=0$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $A$. Vì $EA,EM;FB,FM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ nên
$EA=EM=a;FB=FM=b,\left( a=\dfrac{5}{2}b \right);EF=ME+MF=a+b$.
Do đó $E\in \left( C \right)$ tâm $A,{{R}_{\left( C \right)}}=AE=6\sqrt{5}$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.
$OE=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}\ge \sqrt{O{{H}^{2}}+{{(AE-AH)}^{2}}}=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}-AH \right)}^{2}}}$
$\begin{array}{*{35}{r}}
{} & ~=\sqrt{O{{H}^{2}}+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}-\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{d}^{2}}\left( O,\left( P \right) \right)+{{\left( {{R}_{\left( C \right)}}+\sqrt{O{{A}^{2}}-{{d}^{2}}\left( O,\left( P \right) \right)} \right)}^{2}}} \\
{} & ~=\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 6\sqrt{5}-\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{2}^{2}}-{{5}^{2}}} \right)}^{2}}}=5\sqrt{6} \\
\end{array}$
Đáp án A.