Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -1;\ 2;\ 0...

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(Q\right)$ đi qua hai điểm $A,B$, đồng thời vuông góc $\left(P\right)$. Khi đó, $\overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_P}$ với $\overrightarrow{AB}(2;-1;3)$ và $\overrightarrow{n_P}(1;-2;3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$.
Suy ra, chọn $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_P}]=(3;-3;-3)$. Do đó, $\overrightarrow{n_Q}(1;-1;-1)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(Q\right)$. Mà mặt phẳng $\left(Q\right)$ đi qua điểm $A(-1;2;0)$ nên có phương trình là
$(x+1)-(y-2)-z=0$ $\iff x-y-z+3=0$ $\iff 2x-2y-2z+6=0$.
Suy ra $a=2,b=2,c=6$ nên $a+2b-3c=-12$.