Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 0;2;-2 \right)$...

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left( 0;2;-2 \right)$, $\overrightarrow{OB}=\left( 2;2;-4 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( OAB \right)$ là $x+y+z=0$
$I\in \left( OAB \right)\Rightarrow a+b+c=0$ $\left( 1 \right)$
$\overrightarrow{AI}=\left( a;b-2;c+2 \right)$, $\overrightarrow{BI}=\left( a-2;b-2;c+4 \right)$, $\overrightarrow{OI}=\left( a;b;c \right)$.
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& AI=BI \\
& AI=OI \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}} \\
& {{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-c=4 \\
& -b+c=-2 \\
\end{aligned} \right.$$\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a-c=4 \\
& -b+c=-2 \\
& a+b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-c=4 \\
& -b+c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=0 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $I\left( 2;0;-2 \right)\Rightarrow T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=8$.