Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;2)$ và...

$A(0;1;2)$ và $B(\sqrt{3};1;3)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3};0;1)\Rightarrow AB=2$
Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh $AB=2$ và mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $EF$ tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi $F$ là trung điểm $CD$ thì suy ra $CD$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được $d(A;\mathrm{\Delta })=AM=a\sqrt{3}$ với $M$ thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa $CD$ và khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và $CD$ bằng $M{F}^{\prime }$ với $M{F}^{\prime }$ vuông góc mặt phẳng chứa $CD$
Suy ra khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và $CD$ lớn nhất bằng $M{F}^{\prime }=MJ+J{F}^{\prime }$ như hình vẽ trên
Từ đây ta có: $MB=\sqrt{A{B}^2-MA{}^2}=\sqrt{{\left(2R\right)}^2-MA{}^2}=\sqrt{{\left(2\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=1$
Xét $\mathrm{\Delta }AMB$ vuông tại $M$ có $MJ\mathrm{\perp }AB$ nên ta có: ${\displaystyle \frac{1}{M{J}^2}}={\displaystyle \frac{1}{MA{}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{MB{}^2}}$ (hệ thức lượng)
Suy ra $MJ={\displaystyle \frac{MA.MB}{\sqrt{MA{}^2+MB{}^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};J{F}^{\prime }={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$ ;
Như vậy ta suy ra ra khoảng cách giữa $\mathrm{\Delta }$ và $CD$ lớn nhất bằng
$M{F}^{\prime }=MJ+J{F}^{\prime }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+2}{2}}$.