Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và $B\left( \sqrt{3};1;3 \right)$ thoả mãn $AB\bot BC$ $;AB\bot AD;AD\bot BC$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính $AB$, đường thẳng $CD$ di động và luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Gọi $E\in AB,F\in CD$ và $EF$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$. Biết rằng đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và thỏa mãn $(\Delta )\bot EF;(\Delta )\bot AB$ và $d\left( A;\left( \Delta \right) \right)=\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ lớn nhất bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}$.
D. $3$.
$A\left( 0;1;2 \right)$ và $B\left( \sqrt{3};1;3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};0;1 \right)\Rightarrow AB=2$
Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh $AB=2$ và mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $EF$ tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi $F$ là trung điểm $CD$ thì suy ra $CD$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được $d\left( A;\Delta \right)=AM=a\sqrt{3}$ với $M$ thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa $CD$ và khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ bằng $M{F}'$ với $M{F}'$ vuông góc mặt phẳng chứa $CD$
Suy ra khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ lớn nhất bằng $M{F}'=MJ+J{F}'$ như hình vẽ trên
Từ đây ta có: $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2R \right)}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1$
Xét $\Delta AMB$ vuông tại $M$ có $MJ\bot AB$ nên ta có: $\dfrac{1}{M{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{MA{{}^{2}}}+\dfrac{1}{MB{{}^{2}}}$ (hệ thức lượng)
Suy ra $MJ=\dfrac{MA.MB}{\sqrt{MA{{}^{2}}+MB{{}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2};J{F}'=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2}{2}=1$ ;
Như vậy ta suy ra ra khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ lớn nhất bằng
$M{F}'=MJ+J{F}'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}$.
D. $3$.
$A\left( 0;1;2 \right)$ và $B\left( \sqrt{3};1;3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};0;1 \right)\Rightarrow AB=2$
Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh $AB=2$ và mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $EF$ tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi $F$ là trung điểm $CD$ thì suy ra $CD$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được $d\left( A;\Delta \right)=AM=a\sqrt{3}$ với $M$ thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa $CD$ và khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ bằng $M{F}'$ với $M{F}'$ vuông góc mặt phẳng chứa $CD$
Suy ra khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ lớn nhất bằng $M{F}'=MJ+J{F}'$ như hình vẽ trên
Từ đây ta có: $MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2R \right)}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1$
Xét $\Delta AMB$ vuông tại $M$ có $MJ\bot AB$ nên ta có: $\dfrac{1}{M{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{MA{{}^{2}}}+\dfrac{1}{MB{{}^{2}}}$ (hệ thức lượng)
Suy ra $MJ=\dfrac{MA.MB}{\sqrt{MA{{}^{2}}+MB{{}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2};J{F}'=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2}{2}=1$ ;
Như vậy ta suy ra ra khoảng cách giữa $\Delta $ và $CD$ lớn nhất bằng
$M{F}'=MJ+J{F}'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$.
Đáp án A.