Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2 ;-1 ; 2), B(6 ; 3 ...

Ta có phương trình mặt phẳng $(Oyz):x=0.$
Gọi $B^{\prime }$ là điểm đối xứng $B$ qua $(Oyz):x=0\Rightarrow B^{\prime }(-6;3;2)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow H(0;3;2)$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow K(0;-1;2)$
Ta có $HK=4,d(A,\left(Oyz\right))=AK=2,d(B,\left(Oyz\right))=BH=6.$
Gọi $\left(\alpha \right):x=2$. Trên $\left(\alpha \right)$ lấy điểm $A^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{MN}$.
Vì $M,N$ thay đổi và $MN=16\Rightarrow A^{\prime }$ nàm trên đường tròn tâm $A$, bán kính $R=16.$
$AM+BN=A^{\prime }N+BN=A^{\prime }N+N{B}^{\prime }\ge A^{\prime }{B}^{\prime }\ge B^{\prime }{A}^{″}$ $=\sqrt{B^{\prime }{I}^2+I{A}^{\prime }{{}^{\prime }}^2}=\sqrt{8^2+{12}^2}=4\sqrt{13}.$