Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2 ;-1 ; 2), B(6 ; 3 ; 2)$. Xét hai điểm $M,N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M N=16$. Giá trị nhỏ nhất của $A M+B N$ bằng
A. $4 \sqrt{5}$.
B. $4 \sqrt{13}$.
C. $2 \sqrt{15}$.
D. $5 \sqrt{3}$.
Ta có phương trình mặt phẳng $(Oyz):x=0.$
Gọi $B'$ là điểm đối xứng $B$ qua $(Oyz):x=0\Rightarrow B'\left( -6;3;2 \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow H\left( 0;3;2 \right)$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow K\left( 0;-1;2 \right)$
Ta có $HK=4,d\left( A,\left( Oyz \right) \right)=AK=2,\ d\left( B,\left( Oyz \right) \right)=BH=6.$
Gọi $\left( \alpha \right):x=2$. Trên $\left( \alpha \right)$ lấy điểm $A'$ sao cho $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{MN}$.
Vì $M,N$ thay đổi và $MN=16\Rightarrow A'$ nàm trên đường tròn tâm $A$, bán kính $R=16.$
$AM+BN=A'N+BN=A'N+NB'\ge A'B'\ge B'A''$ $=\sqrt{B'{{I}^{2}}+IA'{{'}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{12}^{2}}}=4\sqrt{13}.$
A. $4 \sqrt{5}$.
B. $4 \sqrt{13}$.
C. $2 \sqrt{15}$.
D. $5 \sqrt{3}$.
Gọi $B'$ là điểm đối xứng $B$ qua $(Oyz):x=0\Rightarrow B'\left( -6;3;2 \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow H\left( 0;3;2 \right)$
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ xuống $(Oyz):x=0\Rightarrow K\left( 0;-1;2 \right)$
Ta có $HK=4,d\left( A,\left( Oyz \right) \right)=AK=2,\ d\left( B,\left( Oyz \right) \right)=BH=6.$
Gọi $\left( \alpha \right):x=2$. Trên $\left( \alpha \right)$ lấy điểm $A'$ sao cho $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{MN}$.
Vì $M,N$ thay đổi và $MN=16\Rightarrow A'$ nàm trên đường tròn tâm $A$, bán kính $R=16.$
$AM+BN=A'N+BN=A'N+NB'\ge A'B'\ge B'A''$ $=\sqrt{B'{{I}^{2}}+IA'{{'}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{12}^{2}}}=4\sqrt{13}.$
Đáp án B.