Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;-4)$ và $B(-2 ; 1 ...

Với mỗi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$, do $N$ là một điểm di động trên mặt cầu có tâm $M$ với bán kính bằng 2 nên $BN$ nhỏ nhất khi $BN=|BM-R|=|BM-2|$.
Do đó, bài toán đưa về việc tìm $M$ sao cho $P=AM+|BM-2|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Do $M\in d$ nên $M(1+t;2t;-1-t)$ với $t\in \mathbb{R}$.
Khi đó: $AM=\sqrt{t^2+{(2t+3)}^2+{(3-t)}^2}=\sqrt{6t^2+6t+18}$,
$BM=\sqrt{{(t+3)}^2+{(2t-1)}^2+{(-2-t)}^2}=\sqrt{6t^2+6t+14}$.
Khi đó: $P=\sqrt{6t^2+6t+18}+|\sqrt{6t^2+6t+14}-2|=\sqrt{6t^2+6t+18}+\sqrt{6t^2+6t+14}-2$ (vì $\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$,
thì $6t^2+6t+14>4$ nên $\sqrt{6t^2+6t+14}-2>0$, do đó $|\sqrt{6t^2+6t+14}-2|=\sqrt{6t^2+6t+14}-2$ ).
Xét hàm số $f(t)=\sqrt{6t^2+6t+18}+\sqrt{6t^2+6t+14}-2$, với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có $f^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{6t+3}{\sqrt{6t^2+6t+18}}}+{\displaystyle \frac{6t+3}{\sqrt{6t^2+6t+14}}}=0\iff 6t+3=0\iff t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Qua đó, ta thấy ngay $t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ là điểm cực trị duy nhất của hàm số và đó là điểm cực tiểu nên hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ${\displaystyle \frac{\sqrt{66}+5\sqrt{2}-4}{2}}$ tại $t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.