Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;-4)$ và $B(-2 ; 1 ; 1)$. Với $M$ là điểm trên đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$, xét $N$ là một điểm di động trên mặt cầu có tâm $M$ với bán kính bằng 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=AM+BN$ thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 3;5 \right)$.
C. $\left( 5;7 \right)$.
D. $\left( 7;9 \right)$.
A. $\left( 1;3 \right)$.
B. $\left( 3;5 \right)$.
C. $\left( 5;7 \right)$.
D. $\left( 7;9 \right)$.
Với mỗi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$, do $N$ là một điểm di động trên mặt cầu có tâm $M$ với bán kính bằng 2 nên $BN$ nhỏ nhất khi $BN=\left| BM-R \right|=\left| BM-2 \right|$.
Do đó, bài toán đưa về việc tìm $M$ sao cho $P=AM+\left| BM-2 \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Do $M\in d$ nên $M(1+t ; 2t ; -1-t)$ với $t\in \mathbb{R}$.
Khi đó: $AM=\sqrt{{{t}^{2}}+{{(2t+3)}^{2}}+{{(3-t)}^{2}}}=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}$,
$BM=\sqrt{{{(t+3)}^{2}}+{{(2t-1)}^{2}}+{{(-2-t)}^{2}}}=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}$.
Khi đó: $P=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\left| \sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2 \right|=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$ (vì $\forall t\in \mathbb{R}$,
thì $6{{t}^{2}}+6t+14>4$ nên $\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2>0$, do đó $\left| \sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2 \right|=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$ ).
Xét hàm số $f(t)=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$, với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có ${f}'(t)=\dfrac{6t+3}{\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}}+\dfrac{6t+3}{\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}}=0\Leftrightarrow 6t+3=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$.
Qua đó, ta thấy ngay $t=-\dfrac{1}{2}$ là điểm cực trị duy nhất của hàm số và đó là điểm cực tiểu nên hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{\sqrt{66}+5\sqrt{2}-4}{2}$ tại $t=-\dfrac{1}{2}$.
Do đó, bài toán đưa về việc tìm $M$ sao cho $P=AM+\left| BM-2 \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Do $M\in d$ nên $M(1+t ; 2t ; -1-t)$ với $t\in \mathbb{R}$.
Khi đó: $AM=\sqrt{{{t}^{2}}+{{(2t+3)}^{2}}+{{(3-t)}^{2}}}=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}$,
$BM=\sqrt{{{(t+3)}^{2}}+{{(2t-1)}^{2}}+{{(-2-t)}^{2}}}=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}$.
Khi đó: $P=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\left| \sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2 \right|=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$ (vì $\forall t\in \mathbb{R}$,
thì $6{{t}^{2}}+6t+14>4$ nên $\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2>0$, do đó $\left| \sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2 \right|=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$ ).
Xét hàm số $f(t)=\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}+\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}-2$, với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có ${f}'(t)=\dfrac{6t+3}{\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+18}}+\dfrac{6t+3}{\sqrt{6{{t}^{2}}+6t+14}}=0\Leftrightarrow 6t+3=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}$.
Qua đó, ta thấy ngay $t=-\dfrac{1}{2}$ là điểm cực trị duy nhất của hàm số và đó là điểm cực tiểu nên hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{\sqrt{66}+5\sqrt{2}-4}{2}$ tại $t=-\dfrac{1}{2}$.
Đáp án C.