Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;0), B(-3;1;4)$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{3}$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng $\Delta $ và ngoại tiếp mặt cầu đường kính $AB$. Khi $(N)$ có thể tích nhỏ nhất thì tung độ đỉnh của khối nón $\left( N \right)$ bằng
A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. 11.
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(-1;2;2)$, bán kính $3$.
Gọi $H, r$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của $(N)$, $C$ là đỉnh của $(N)$.
Khi đó $C, I, H$ thẳng hàng ( $I$ nằm giữa $C, H$ ), $IH=IK=3$
Đặt $CI=x$. Ta có $\Delta CIK$ đồng dạng $\Delta CMH$ nên $\dfrac{IK}{MH}=\dfrac{CK}{CH}\Rightarrow r=HM=\dfrac{IK.CH}{CK}=\dfrac{3(x+3)}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}$
${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{3\left( x+3 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}} \right)}^{2}}.(x+3)=3\pi \dfrac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{x-3}$
${{V}_{(N)}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{x-3}=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9}{x-3}$ nhỏ nhất $(x>3)$.
$f'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}-6x-27}{x-3}$, $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=9 \\
\end{aligned} \right.$.
${{V}_{(N)}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow x=9$, khi đó $IC=9$ nên $C\in (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=81$
Mặt khác $C\in \Delta $ nên $C\left( -1;2;11 \right)$ hoặc $C\left( \dfrac{43}{11};-\dfrac{32}{11};-\dfrac{41}{11} \right)$.
Vì $C$ có tọa độ nguyên nên $C\left( -1;2;11 \right)$.
Vậy Khi $(N)$ có thể tích nhỏ nhất thì tung độ đỉnh của khối nón $\left( N \right)$ bằng 2.
A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. 11.
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(-1;2;2)$, bán kính $3$.
Gọi $H, r$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của $(N)$, $C$ là đỉnh của $(N)$.
Khi đó $C, I, H$ thẳng hàng ( $I$ nằm giữa $C, H$ ), $IH=IK=3$
Đặt $CI=x$. Ta có $\Delta CIK$ đồng dạng $\Delta CMH$ nên $\dfrac{IK}{MH}=\dfrac{CK}{CH}\Rightarrow r=HM=\dfrac{IK.CH}{CK}=\dfrac{3(x+3)}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}}$
${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{3\left( x+3 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}} \right)}^{2}}.(x+3)=3\pi \dfrac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{x-3}$
${{V}_{(N)}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{x-3}=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9}{x-3}$ nhỏ nhất $(x>3)$.
$f'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}-6x-27}{x-3}$, $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=9 \\
\end{aligned} \right.$.
${{V}_{(N)}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow x=9$, khi đó $IC=9$ nên $C\in (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=81$
Mặt khác $C\in \Delta $ nên $C\left( -1;2;11 \right)$ hoặc $C\left( \dfrac{43}{11};-\dfrac{32}{11};-\dfrac{41}{11} \right)$.
Vì $C$ có tọa độ nguyên nên $C\left( -1;2;11 \right)$.
Vậy Khi $(N)$ có thể tích nhỏ nhất thì tung độ đỉnh của khối nón $\left( N \right)$ bằng 2.
Đáp án B.