Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình là
A. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.
B. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$.
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$.
D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$, ta có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{_{d}}},{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 3;-2;1 \right)$.
Vì $\left( Q \right)$ chứa $d$ nên $\left( Q \right)$ qua điểm $M\left( 0;1;2 \right)$ thuộc $d$. Khi đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $3x-2y+z=0$.
Gọi ${d}'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$, ta có ${d}'$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$
$\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{_{{{d}'}}}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( P \right)}}},{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 4;2;-8 \right)$, chọn ${{\overrightarrow{u}}_{_{d'}}}=\left( 2;1;-4 \right)$. Loại $A,D$.
Cho $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2y+z-4=0 \\
& -2y+z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=1 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ là điểm chung của $\left( P \right),\left( Q \right)$ do đó nằm trên ${d}'$.
Vậy phương trình ${d}'$ là: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$ .
A. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$.
B. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$.
C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}$.
D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$, ta có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{_{d}}},{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 3;-2;1 \right)$.
Vì $\left( Q \right)$ chứa $d$ nên $\left( Q \right)$ qua điểm $M\left( 0;1;2 \right)$ thuộc $d$. Khi đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $3x-2y+z=0$.
Gọi ${d}'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$, ta có ${d}'$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$
$\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{_{{{d}'}}}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{_{\left( P \right)}}},{{\overrightarrow{n}}_{_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 4;2;-8 \right)$, chọn ${{\overrightarrow{u}}_{_{d'}}}=\left( 2;1;-4 \right)$. Loại $A,D$.
Cho $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2y+z-4=0 \\
& -2y+z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=1 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ là điểm chung của $\left( P \right),\left( Q \right)$ do đó nằm trên ${d}'$.
Vậy phương trình ${d}'$ là: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}$ .
Đáp án B.