Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta $ tại $M$, $N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng
A. $\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$ nên $d\bot \Delta $.
Trong $\left( P \right)$, Gọi $E$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ hay $EM\bot d$ $\Rightarrow EM\bot \left( Q \right)$ $\Rightarrow EM\bot EN$.
Trong tam giác $MEN$, kẻ đường cao $EH$ $\Rightarrow EH=d\left( d,\Delta \right)$.
Tam giác $MEN$ vuông tại $E$ nên $M{{N}^{2}}=E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}\ge 2\sqrt{E{{M}^{2}}E{{N}^{2}}}=2EM.EN$.
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
$M{{N}^{2}}=E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}\ge 2\sqrt{E{{M}^{2}}E{{N}^{2}}}=2EM.EN=2EH.MN\Leftrightarrow MN\ge 2EH$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng song song với $\Delta $ và chứa $d$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -3;3;0 \right)$, lấy $A\left( 1;1;0 \right)\in d$ $\Rightarrow \left( \alpha \right):x-y=0$.
Lấy $B\left( 2;0;1 \right)\in \Delta $ $\Rightarrow EH=d\left( d,\Delta \right)=d\left( \Delta ,\left( \alpha \right) \right)=d\left( B,\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{2}$.
Vậy $MN\ge 2EH=2\sqrt{2}$. Đẳng thức xảy ra khi tam giác $MEN$ vuông cân tại $E$.
A. $\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{3}$.
Trong $\left( P \right)$, Gọi $E$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ hay $EM\bot d$ $\Rightarrow EM\bot \left( Q \right)$ $\Rightarrow EM\bot EN$.
Trong tam giác $MEN$, kẻ đường cao $EH$ $\Rightarrow EH=d\left( d,\Delta \right)$.
Tam giác $MEN$ vuông tại $E$ nên $M{{N}^{2}}=E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}\ge 2\sqrt{E{{M}^{2}}E{{N}^{2}}}=2EM.EN$.
Áp dụng bất đẳng thức Am – gm:
$M{{N}^{2}}=E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}\ge 2\sqrt{E{{M}^{2}}E{{N}^{2}}}=2EM.EN=2EH.MN\Leftrightarrow MN\ge 2EH$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng song song với $\Delta $ và chứa $d$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -3;3;0 \right)$, lấy $A\left( 1;1;0 \right)\in d$ $\Rightarrow \left( \alpha \right):x-y=0$.
Lấy $B\left( 2;0;1 \right)\in \Delta $ $\Rightarrow EH=d\left( d,\Delta \right)=d\left( \Delta ,\left( \alpha \right) \right)=d\left( B,\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{2}$.
Vậy $MN\ge 2EH=2\sqrt{2}$. Đẳng thức xảy ra khi tam giác $MEN$ vuông cân tại $E$.
Đáp án C.