Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{3}.$ Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $M\left( 0;0;0 \right)$ đến $\left( P \right)$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định tọa độ giao điểm $N$ của $\left( P \right)$ và trục $Oz.$
A. $N\left( 0;0;-6 \right).$
B. $N\left( 0;0;2 \right).$
C. $N\left( 0;0;4 \right).$
D. $N\left( 0;0;9 \right).$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $\left( P \right),\left( d \right)$. Khi đó $d\left[ M;\left( P \right) \right]=MH\le MK$
$\Rightarrow d{{\left[ M;\left( P \right) \right]}_{\max }}=MK.$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$, suy ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\bot {{{\vec{u}}}_{d}} \\
{{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\overrightarrow{MA} \right] \\
\end{array} \right., $ với $ A\left( 4;5;0 \right)\in \left( d \right).$
$\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$ mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{{\vec{u}}}_{d}}=\left( 1;2;3 \right) \\
\overrightarrow{MA}=\left( 4;5;0 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;1;-1 \right).$
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-9=0.$
Vậy $N=P\cap Qz\to N\left( 0;0;9 \right).$
A. $N\left( 0;0;-6 \right).$
B. $N\left( 0;0;2 \right).$
C. $N\left( 0;0;4 \right).$
D. $N\left( 0;0;9 \right).$
$\Rightarrow d{{\left[ M;\left( P \right) \right]}_{\max }}=MK.$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và chứa $d$, suy ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\bot {{{\vec{u}}}_{d}} \\
{{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\overrightarrow{MA} \right] \\
\end{array} \right., $ với $ A\left( 4;5;0 \right)\in \left( d \right).$
$\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\left[ {{{\vec{u}}}_{d}};\overrightarrow{MA} \right] \right]$ mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{{\vec{u}}}_{d}}=\left( 1;2;3 \right) \\
\overrightarrow{MA}=\left( 4;5;0 \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;1;-1 \right).$
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-9=0.$
Vậy $N=P\cap Qz\to N\left( 0;0;9 \right).$
Đáp án D.