Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $E\left( -2;1;-2 \right)$, song song với $\left( P \right)$ đồng thời tạo với $d$ góc bé nhất. Biết rằng $\Delta $ có một véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( m;n;1 \right)$. Giá trị của ${{m}^{2}}-{{n}^{2}}$ bằng
A. 4.
B. $-4$.
C. 3.
D. $-5$.
A. 4.
B. $-4$.
C. 3.
D. $-5$.
Qua $E$ dựng đường thẳng ${d}'\text{//}d\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{{{d}'}}}}=\left( 4;-4;3 \right)$
Gọi $I\in {d}'$, kẻ $IH\bot \left( P \right)$, kẻ $IK\bot \Delta \left( K\in \Delta \right)$
Khi đó $\widehat{\left( \Delta ;d \right)}=\widehat{\left( \Delta ;{d}' \right)}=\widehat{IEK}=\alpha $. Ta có $\sin \alpha =\dfrac{IK}{IE}\ge \dfrac{IH}{IE}$
Suy ra $\alpha $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \widehat{IEK}\min \Leftrightarrow H\equiv K$. Hay $H\in \Delta $.
Do đó $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=k.\left( 0;18;9 \right)=\left( 0;2;1 \right)$
Mà $\overrightarrow{u}=\left( m;n;1 \right)\xrightarrow[{}]{{}}\left\{ \begin{aligned}
& m=0 \\
& n=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-{{n}^{2}}=-4$.
$\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( {{y}_{1}}{{z}_{2}}-{{y}_{2}}{{z}_{1}};{{z}_{1}}{{x}_{2}}-{{z}_{2}}{{x}_{1}};{{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)$. Véctơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với cả hai véctơ $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$.
Gọi $I\in {d}'$, kẻ $IH\bot \left( P \right)$, kẻ $IK\bot \Delta \left( K\in \Delta \right)$
Khi đó $\widehat{\left( \Delta ;d \right)}=\widehat{\left( \Delta ;{d}' \right)}=\widehat{IEK}=\alpha $. Ta có $\sin \alpha =\dfrac{IK}{IE}\ge \dfrac{IH}{IE}$
Suy ra $\alpha $ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \widehat{IEK}\min \Leftrightarrow H\equiv K$. Hay $H\in \Delta $.
Do đó $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=k.\left( 0;18;9 \right)=\left( 0;2;1 \right)$
Mà $\overrightarrow{u}=\left( m;n;1 \right)\xrightarrow[{}]{{}}\left\{ \begin{aligned}
& m=0 \\
& n=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-{{n}^{2}}=-4$.
Note 26: Phương pháp chung
Hai đường thẳng song song thì chúng có cùng véctơ chỉ phương$\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( {{y}_{1}}{{z}_{2}}-{{y}_{2}}{{z}_{1}};{{z}_{1}}{{x}_{2}}-{{z}_{2}}{{x}_{1}};{{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)$. Véctơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với cả hai véctơ $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$.
Đáp án B.