Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta...

Ta có $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=-1+2t\\ & z=1+t\end{array}$
Gọi $M=\mathrm{\Delta }\cap \left(P\right)$ $\Rightarrow M\in \mathrm{\Delta }$ $\Rightarrow M(t;2t-1;t+1)$.
Với $M\in \left(P\right)$ $\Rightarrow t-2(2t-1)-(t+1)+3=0$ $\iff 4-4t=0$ $\iff t=1$ $\Rightarrow M(1;1;2)$.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{n}=(1;-2;-1)$
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là $\overrightarrow{u}=(1;2;1)$
Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $\left(P\right)$ đồng thời cắt và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$
Do vậy đường thẳng $d$ nhận ${\displaystyle \frac{1}{2}}[\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}]=(0;-1;2)$ làm véc tơ chỉ phương, mặt khác $M(1;1;2)\in d$ nên phương trình đường thẳng $d:\{\begin{array}{rl}& x=1\\ & y=1-t\\ & z=2+2t\end{array}$.