Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2mt \\
& y=-\left( {{m}^{2}}+1 \right)t \\
& z=\left( 1-{{m}^{2}} \right)t \\
\end{aligned} \right. $.Gọi $ {\Delta }' $là đường thẳng qua gốc tọa độ $ O $và song song với $ \Delta $. Gọi $ A,B,C $lần lượt là các điểm di động trên $ Oz,\Delta ,{\Delta }' $. Giá trị nhỏ nhất$ AB+BC+CA$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
$\Delta $ qua điểm $M\left( -1;0;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2m;-{{m}^{2}}-1;1-{{m}^{2}} \right),\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 0;1-{{m}^{2}};{{m}^{2}}+1 \right)$.
Ta có:
$AB+AC+BC\ge BC+BC=2BC\ge 2d\left( \Delta ,{\Delta }' \right)=2d\left( O,\Delta \right)=\dfrac{2\left| \left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$
$=\dfrac{2\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{{{m}^{4}}+1}}{{{m}^{2}}+1}=\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( {{m}^{4}}+1 \right)}}{{{m}^{2}}+1}$
Dấu $''=''$ đạt tại $\dfrac{{{m}^{2}}}{1}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m=\pm 1$, lúc này $A\equiv C\equiv O$ và $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\Delta $.
& x=-1+2mt \\
& y=-\left( {{m}^{2}}+1 \right)t \\
& z=\left( 1-{{m}^{2}} \right)t \\
\end{aligned} \right. $.Gọi $ {\Delta }' $là đường thẳng qua gốc tọa độ $ O $và song song với $ \Delta $. Gọi $ A,B,C $lần lượt là các điểm di động trên $ Oz,\Delta ,{\Delta }' $. Giá trị nhỏ nhất$ AB+BC+CA$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
$\Delta $ qua điểm $M\left( -1;0;0 \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2m;-{{m}^{2}}-1;1-{{m}^{2}} \right),\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( 0;1-{{m}^{2}};{{m}^{2}}+1 \right)$.
Ta có:
$AB+AC+BC\ge BC+BC=2BC\ge 2d\left( \Delta ,{\Delta }' \right)=2d\left( O,\Delta \right)=\dfrac{2\left| \left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}$
$=\dfrac{2\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{{{m}^{4}}+1}}{{{m}^{2}}+1}=\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( {{m}^{4}}+1 \right)}}{{{m}^{2}}+1}$
Dấu $''=''$ đạt tại $\dfrac{{{m}^{2}}}{1}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m=\pm 1$, lúc này $A\equiv C\equiv O$ và $B$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\Delta $.
Đáp án D.