Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và hai điểm $A\left( -1;3;1 \right)$ ; $B\left( 0;2;-1 \right)$. Gọi $C\left( m;n;p \right)$ là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng $2\sqrt{2}$. Giá trị của tổng $m+n+p$ bằng
A. –1
B. 2
C. 3
D. –5
A. –1
B. 2
C. 3
D. –5
Phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
Vì $C\in d$ :$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( -1+2t;t;2-t \right)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-2 \right)$ ; $\overrightarrow{AC}=\left( 2t;t-3;1-t \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3t-7;-3t-1;3t-3 \right)$
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}$
${{S}_{ABC}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow m+n+p=3$
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
Vì $C\in d$ :$\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( -1+2t;t;2-t \right)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-2 \right)$ ; $\overrightarrow{AC}=\left( 2t;t-3;1-t \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3t-7;-3t-1;3t-3 \right)$
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}$
${{S}_{ABC}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=1\Rightarrow C\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow m+n+p=3$
Đáp án C.