Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A(1;0;-1) $, $ B(2;1;1)$. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
A. $M(1;1;0)$
B. $M(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0)$
C. $M(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$
D. $M(\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3})$
& x=1+2t \\
& y=1-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ và hai điểm $ A(1;0;-1) $, $ B(2;1;1)$. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
A. $M(1;1;0)$
B. $M(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0)$
C. $M(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$
D. $M(\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3})$
Do $M\in d$ nên $M(1+2t ; 1-t ; t)$.
$MA+MB=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}+{{(t+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(2t-1)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}}$
$=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}$.
Chọn $\overrightarrow{u}=\left( \sqrt{6}t ; \sqrt{2} \right),\overrightarrow{\text{v}}=\left( \sqrt{6}\left( \dfrac{1}{2}-t \right) ; \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} ; \dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$
Ta có: $MA+MB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{9}{2}}=\sqrt{6}$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left( \dfrac{1}{2}-t \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow 1=1-2t\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Vậy $MA+MB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M\left( \dfrac{5}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} \right)$.
$MA+MB=\sqrt{4{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}+{{(t+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(2t-1)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}}$
$=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{t}^{2}}-6t+2}=\sqrt{6{{t}^{2}}+2}+\sqrt{6{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}$.
Chọn $\overrightarrow{u}=\left( \sqrt{6}t ; \sqrt{2} \right),\overrightarrow{\text{v}}=\left( \sqrt{6}\left( \dfrac{1}{2}-t \right) ; \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} ; \dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$
Ta có: $MA+MB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{\dfrac{6}{4}+\dfrac{9}{2}}=\sqrt{6}$.
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{6}t}{\sqrt{6}\left( \dfrac{1}{2}-t \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\Leftrightarrow 1=1-2t\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$.
Vậy $MA+MB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M\left( \dfrac{5}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} \right)$.
Đáp án D.