Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=3-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,t\in R $. Gọi $ \left( P \right) $là mặt phẳng chứa đường thẳng $ d $ và tạo với mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một góc $ 45{}^\circ $. Khoảng cách từ điểm $ M\left( -3;2;5 \right) $ đến $ \left( P \right)$ bằng
A. $3$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $1$.
D. $2\sqrt{2}$.
& x=0 \\
& y=3-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.,t\in R $. Gọi $ \left( P \right) $là mặt phẳng chứa đường thẳng $ d $ và tạo với mặt phẳng $ \left( Oxy \right) $ một góc $ 45{}^\circ $. Khoảng cách từ điểm $ M\left( -3;2;5 \right) $ đến $ \left( P \right)$ bằng
A. $3$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $1$.
D. $2\sqrt{2}$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;3;0)$ và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(0;-1;1)$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;p)$ là VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}\ne 0$.
Ta có phương trình $(p):mx+ny+pz-3n=0$. Vì $\overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow n=p\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;n)$
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$.
Ta có: $\cos \left( \left( P \right);\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{k} \right) \right|\Leftrightarrow \cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| n \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=\sqrt{2}\left| n \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0$.
Chọn $n=1\Rightarrow \left( P \right):y+z-3=0$.
Vậy $\text{d}\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;p)$ là VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}\ne 0$.
Ta có phương trình $(p):mx+ny+pz-3n=0$. Vì $\overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow n=p\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}=(m;n;n)$
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$.
Ta có: $\cos \left( \left( P \right);\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{k} \right) \right|\Leftrightarrow \cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{k} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| n \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=\sqrt{2}\left| n \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0$.
Chọn $n=1\Rightarrow \left( P \right):y+z-3=0$.
Vậy $\text{d}\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Đáp án D.