Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{...

Đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;-1;1)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2;0).$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow d//\left(P\right).$
Do đó, nếu $d^{\prime }$ là hình chiếu của $d$ trên $\left(P\right)$ thì $d^{\prime }//d$.
Gọi $M^{\prime }$ là hình chiếu của $M(1;0;2)$ trên $\left(P\right)\Rightarrow M^{\prime }\in d^{\prime }.$
Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left(P\right)\Rightarrow M^{\prime }=\mathrm{\Delta }\cap \left(P\right).$
Vì $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }\left(P\right)$ nên $\mathrm{\Delta }$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;2;0).$
Phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $M(1;0;2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;0)$ là
$\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2t\\ & z=2\end{array}.$
$M^{\prime }=\mathrm{\Delta }\cap \left(P\right)\Rightarrow$ tọa độ điểm $M^{\prime }$ thỏa mãn hệ:
$\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2t\\ & z=2\\ & x+2y+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2t\\ & z=2\\ & (1+t)+2.2t+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{3}{5}}\\ & y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & z=2\\ & t=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}\Rightarrow M^{\prime }({\displaystyle \frac{3}{5}};-{\displaystyle \frac{4}{5}};2).$
Hình chiếu $d^{\prime }$ song song với $d$ và đi qua $M^{\prime }({\displaystyle \frac{3}{5}};-{\displaystyle \frac{4}{5}};2)$ có phương trình là $\{\begin{array}{rl}& x={\displaystyle \frac{3}{5}}+2t\\ & y=-{\displaystyle \frac{4}{5}}-t\\ & z=2+t\end{array}.$