Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{...

Đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 2;-1;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;0 \right).$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Rightarrow d//\left( P \right).$
Do đó, nếu $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ thì $d'//d$.
Gọi $M'$ là hình chiếu của $M\left( 1;0;2 \right)$ trên $\left( P \right)\Rightarrow M'\in d'.$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow M'=\Delta \cap \left( P \right).$
Vì $\Delta \bot \left( P \right)$ nên $\Delta $ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;0 \right).$
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( 1;0;2 \right)$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;0 \right)$ là
$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right..$
$M'=\Delta \cap \left( P \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm $M'$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2t \\
& z=2 \\
& x+2y+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2t \\
& z=2 \\
& \left( 1+t \right)+2.2t+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{5} \\
& y=-\dfrac{4}{5} \\
& z=2 \\
& t=-\dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M'\left( \dfrac{3}{5};-\dfrac{4}{5};2 \right).$
Hình chiếu $d'$ song song với $d$ và đi qua $M'\left( \dfrac{3}{5};-\dfrac{4}{5};2 \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{5}+2t \\
& y=-\dfrac{4}{5}-t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right..$