Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm . Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất thì d đi qua điểm nào dưới đây?
A. $P\left( -2;0;-2 \right)$
B. $N\left( 0;-2;-5 \right)$
C. $Q\left( 0;2;-5 \right)$
D. $M\left( 0;4;-2 \right)$
Vì d song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên d thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính bằng 2. Có $H\left( 0;0;-2 \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A\left( 0;3;-2 \right)$ trên Oz. Có $\overrightarrow{HA}=\left( 0;3;0 \right)\Rightarrow HA=3$ nên A nằm ngoài mặt trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Oz. M là hình chiếu vuông góc của A trên d. Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ (K nằm giữa A và H).
Dễ thấy:
$d\left( A;d \right)=AM\ge AK;AK=AH-d\left( A;d \right)=1$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv K$
Khi đó ta có: $\overrightarrow{HK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{HA}\Rightarrow K\left( 0;2;-2 \right)\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2 \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$
Với t = -3 ta thấy d đi qua điểm Q.
A. $P\left( -2;0;-2 \right)$
B. $N\left( 0;-2;-5 \right)$
C. $Q\left( 0;2;-5 \right)$
D. $M\left( 0;4;-2 \right)$
Vì d song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 nên d thuộc mặt trụ trục Oz và bán kính bằng 2. Có $H\left( 0;0;-2 \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A\left( 0;3;-2 \right)$ trên Oz. Có $\overrightarrow{HA}=\left( 0;3;0 \right)\Rightarrow HA=3$ nên A nằm ngoài mặt trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với Oz. M là hình chiếu vuông góc của A trên d. Gọi K là giao điểm của AH và mặt trụ (K nằm giữa A và H).
Dễ thấy:
$d\left( A;d \right)=AM\ge AK;AK=AH-d\left( A;d \right)=1$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv K$
Khi đó ta có: $\overrightarrow{HK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{HA}\Rightarrow K\left( 0;2;-2 \right)\Rightarrow d:\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2 \\
& z=-2+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$
Với t = -3 ta thấy d đi qua điểm Q.
Đáp án C.