Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( 8;1;1 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và cắt chiều dương của các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $OG$ nhỏ nhất với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
A. $x+2y+2z-12=0.$
B. $x+y+2z-11=0.$
C. $2x+y+z-18=0.$
D. $8x+y+z-66=0.$
A. $x+2y+2z-12=0.$
B. $x+y+2z-11=0.$
C. $2x+y+z-18=0.$
D. $8x+y+z-66=0.$
Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$, $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$.
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Gọi $G\left( \dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3} \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow OG=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
$M\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
${{\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a}}.\sqrt{2a}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}.\sqrt{c} \right)}^{2}}\le \left[ {{\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{b}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{c}} \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( \sqrt{2a} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{b} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{c} \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{\left( 4+1+1 \right)}^{2}}\le \left( \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left( 2a+b+c \right)\Leftrightarrow 2a+b+c\ge 36$.
Mặt khác: ${{\left( a.2+b.1+c.1 \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{2}^{2}}+1+1 \right)$.
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( 2a+b+c \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 216\Rightarrow OG\ge 2\sqrt{6}$.
Dấu " $=$ " xảy ra khi $\dfrac{a}{2}=b=c\Rightarrow a=2b=2c\Rightarrow a=12,b=c=6$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ : $\dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $\left( \alpha \right)$ : $x+2y+2z-12=0$.
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Gọi $G\left( \dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3} \right)$ là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow OG=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$.
$M\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
${{\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a}}.\sqrt{2a}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}.\sqrt{c} \right)}^{2}}\le \left[ {{\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{b}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{c}} \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( \sqrt{2a} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{b} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{c} \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{\left( 4+1+1 \right)}^{2}}\le \left( \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left( 2a+b+c \right)\Leftrightarrow 2a+b+c\ge 36$.
Mặt khác: ${{\left( a.2+b.1+c.1 \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{2}^{2}}+1+1 \right)$.
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{{{\left( 2a+b+c \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 216\Rightarrow OG\ge 2\sqrt{6}$.
Dấu " $=$ " xảy ra khi $\dfrac{a}{2}=b=c\Rightarrow a=2b=2c\Rightarrow a=12,b=c=6$.
Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ : $\dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $\left( \alpha \right)$ : $x+2y+2z-12=0$.
Đáp án A.