Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 3;-4;-5 \right)$ và các đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x+4}{-5}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-2}{3}$ ; ${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z+5}{-2}$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A,B$. Diện tích tam giác $OAB$ bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
B. $5\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
B. $5\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
Ta có đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm $C\left( -4;4;2 \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -5;2;3 \right)$ và phương trình tham số của nó là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-4-5t \\
& y=4+2t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm $D\left( 1;2;-5 \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;3;-2 \right)$ và phương trình tham số của nó là$\left\{ \begin{aligned}
& x=1-{t}' \\
& y=2+3{t}' \\
& z=-5-2{t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua ${{d}_{1}}$ và $M$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua ${{d}_{2}}$ và $M$, khi đó $A={{d}_{1}}\cap \left( Q \right)$, $B={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{CM}=\left( 7;-8;-7 \right);\overrightarrow{DM}=\left( 2;-6;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{CM} \right]=\left( 10;-14;26 \right)=2\left( 5;-7;13 \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến khác là $\overrightarrow{n}=\left( 5;-7;13 \right)$.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$5\left( x-3 \right)-7\left( y+4 \right)+13\left( z+5 \right)=0\Leftrightarrow 5x-7y+13z+22=0$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{DM} \right]=\left( -12;-4;0 \right)=-4\left( 3;1;0 \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến khác là $\overrightarrow{{{n}'}}=\left( 3;1;0 \right)$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3\left( x-3 \right)+1\left( y+4 \right)=0\Leftrightarrow 3x+y-5=0$.
Vì $A={{d}_{1}}\cap \left( Q \right)$ nên $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A=\left( -4-5t;4+2t;2+3t \right)$ và $A\in \left( Q \right)\Rightarrow 3\left( -4-5t \right)+4+2t-5=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow A=\left( 1;2;-1 \right)$.
Vì $B={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$ nên $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B=\left( 1-{t}';2+3{t}';-5-2{t}' \right)$ và $B\in \left( P \right)\Rightarrow 5\left( 1-{t}' \right)-7\left( 2+3{t}' \right)+13\left( -5-2{t}' \right)+22=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B=\left( 2;-1;-3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=\left( 1;2;-1 \right);\overrightarrow{OB}=\left( 2;-1;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( -7;1;-5 \right)$.
Diện tích tam giác $OAB$ là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( -7 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
& x=-4-5t \\
& y=4+2t \\
& z=2+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm $D\left( 1;2;-5 \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;3;-2 \right)$ và phương trình tham số của nó là$\left\{ \begin{aligned}
& x=1-{t}' \\
& y=2+3{t}' \\
& z=-5-2{t}' \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua ${{d}_{1}}$ và $M$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua ${{d}_{2}}$ và $M$, khi đó $A={{d}_{1}}\cap \left( Q \right)$, $B={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{CM}=\left( 7;-8;-7 \right);\overrightarrow{DM}=\left( 2;-6;0 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{CM} \right]=\left( 10;-14;26 \right)=2\left( 5;-7;13 \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến khác là $\overrightarrow{n}=\left( 5;-7;13 \right)$.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$5\left( x-3 \right)-7\left( y+4 \right)+13\left( z+5 \right)=0\Leftrightarrow 5x-7y+13z+22=0$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\left[ \overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{DM} \right]=\left( -12;-4;0 \right)=-4\left( 3;1;0 \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến khác là $\overrightarrow{{{n}'}}=\left( 3;1;0 \right)$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3\left( x-3 \right)+1\left( y+4 \right)=0\Leftrightarrow 3x+y-5=0$.
Vì $A={{d}_{1}}\cap \left( Q \right)$ nên $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A=\left( -4-5t;4+2t;2+3t \right)$ và $A\in \left( Q \right)\Rightarrow 3\left( -4-5t \right)+4+2t-5=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow A=\left( 1;2;-1 \right)$.
Vì $B={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$ nên $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B=\left( 1-{t}';2+3{t}';-5-2{t}' \right)$ và $B\in \left( P \right)\Rightarrow 5\left( 1-{t}' \right)-7\left( 2+3{t}' \right)+13\left( -5-2{t}' \right)+22=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B=\left( 2;-1;-3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=\left( 1;2;-1 \right);\overrightarrow{OB}=\left( 2;-1;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( -7;1;-5 \right)$.
Diện tích tam giác $OAB$ là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( -7 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.
