Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 3;3;-2 \right)$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1}, {{d}_{2}}:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{4}$. Đường thẳng đi qua $M$ và cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ tại $A,B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. 3.
D. 2.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. 3.
D. 2.
Ta có : ${{2}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{40}{9}\Rightarrow A\left( a+1;3a+2;a \right);B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -b-1;2b+1;4b+2 \right)$
$\overrightarrow{MA}\left( a-2;3a-1;a+2 \right);\overrightarrow{MB}\left( -b-4;2b-2;4b+4 \right)$. Do $M,A,B$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2=k\left( -b-4 \right) \\
& 3a-1=k\left( 2b-2 \right) \\
& a+2=k\left( 4b+4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+kb+4k=2 \\
& 3a-2kb+2k=1 \\
& a-4kb-4k=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& kb=0 \\
& k=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=0$
$\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right),B\left( -1;1;2 \right)$. Vậy $AB=3$.
$\overrightarrow{MA}\left( a-2;3a-1;a+2 \right);\overrightarrow{MB}\left( -b-4;2b-2;4b+4 \right)$. Do $M,A,B$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2=k\left( -b-4 \right) \\
& 3a-1=k\left( 2b-2 \right) \\
& a+2=k\left( 4b+4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+kb+4k=2 \\
& 3a-2kb+2k=1 \\
& a-4kb-4k=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& kb=0 \\
& k=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=b=0$
$\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right),B\left( -1;1;2 \right)$. Vậy $AB=3$.
Đáp án C.