Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho điểm $M\left( 1;2;3 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; lần lượt tại A, B, C, sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là
A. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}+18=0$
B. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}+6=0$
C. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2z-18=0$
D. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}-6=0$
Theo đề bài ta có: $A\left( a;0;0 \right),\text{ B}\left( 0;b;0 \right),\text{ C}\left( 0;0;c \right)$ $\left( a;b;c\ne 0 \right)$
Vì M là trọng tâm $\Delta ABC$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1=\dfrac{a}{3} \\
& 2=\dfrac{b}{3} \\
& 3=\dfrac{c}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A\left( 3;0;0 \right),\text{ B}\left( 0;6;0 \right),\text{ C}\left( 0;0;9 \right)$.
A. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}+18=0$
B. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}+6=0$
C. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2z-18=0$
D. $\left( P \right):6\text{x}+3y+2\text{z}-6=0$
| Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại ba điểm $A\left( a;0;0 \right),\text{ B}\left( 0;b;0 \right),\text{ C}\left( 0;0;c \right)$ $\left( a;b;c\ne 0 \right)$ thì có phương trình $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Sử dụng công thức trọng tâm: M là trọng tâm $\Delta ABC$ thì $\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\ & {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\ & {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \\ \end{aligned} \right.$. |
Vì M là trọng tâm $\Delta ABC$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\
& {{z}_{M}}=\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1=\dfrac{a}{3} \\
& 2=\dfrac{b}{3} \\
& 3=\dfrac{c}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $A\left( 3;0;0 \right),\text{ B}\left( 0;6;0 \right),\text{ C}\left( 0;0;9 \right)$.
Đáp án C.