Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( 1;2;0 \right)$ và hai đường thẳng
${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right);\text{ }{{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2s \\
& y=-1-2s \\
& z=s \\
\end{aligned} \right.\left( s\in \mathbb{R} \right). $ Mặt phảng (P) đi qua M song song với trục Ox, sao cho $ \left( P \right) $ cắt hai đường thẳng $ {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} $ lần lượt tại A, B thỏa mãn $ AB=1. $ Khi đó mặt phẳng $ \left( P \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm có tọa độ sau
A. $F\left( 1;3;4 \right).$
B. $H\left( 3;-2;0 \right).$
C. $I\left( 0;-2;1 \right).$
D. $E\left( 2;-3;4 \right).$
${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right);\text{ }{{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2s \\
& y=-1-2s \\
& z=s \\
\end{aligned} \right.\left( s\in \mathbb{R} \right). $ Mặt phảng (P) đi qua M song song với trục Ox, sao cho $ \left( P \right) $ cắt hai đường thẳng $ {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} $ lần lượt tại A, B thỏa mãn $ AB=1. $ Khi đó mặt phẳng $ \left( P \right)$ đi qua điểm nào trong các điểm có tọa độ sau
A. $F\left( 1;3;4 \right).$
B. $H\left( 3;-2;0 \right).$
C. $I\left( 0;-2;1 \right).$
D. $E\left( 2;-3;4 \right).$
HD: Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \left( Ox \right) \\
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{AB} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]$
Gọi $A\left( 1+2t;2-2t;-1+t \right),B\left( 3+2u;-1-2u;u \right)$ ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2+2u-2t;-3-2u+2t;u-t+1 \right)$
Đặt $u-t=m\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2+2m;-3-3m;m+1 \right)$ ta có:
$A{{B}^{2}}={{\left( 2+2m \right)}^{2}}+{{\left( -3-2m \right)}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-\dfrac{19}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;-1;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):z=0\Rightarrow H\in \left( P \right).$
Với $m=-\dfrac{19}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\dfrac{32}{3};16;-\dfrac{16}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 2;-3;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 0;1;3 \right)\Rightarrow \left( P \right):y+3z-2=0.$
Vậy $H\in \left( P \right).$
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \left( Ox \right) \\
& \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\bot \overrightarrow{AB} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]$
Gọi $A\left( 1+2t;2-2t;-1+t \right),B\left( 3+2u;-1-2u;u \right)$ ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2+2u-2t;-3-2u+2t;u-t+1 \right)$
Đặt $u-t=m\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2+2m;-3-3m;m+1 \right)$ ta có:
$A{{B}^{2}}={{\left( 2+2m \right)}^{2}}+{{\left( -3-2m \right)}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-\dfrac{19}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 0;-1;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{i} \right]=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow \left( P \right):z=0\Rightarrow H\in \left( P \right).$
Với $m=-\dfrac{19}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\dfrac{32}{3};16;-\dfrac{16}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 2;-3;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 0;1;3 \right)\Rightarrow \left( P \right):y+3z-2=0.$
Vậy $H\in \left( P \right).$
Đáp án B.