Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho điểm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $\Delta $ : $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{2}$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và cắt $\Delta $ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 20 là
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=41$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=41$.
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=29$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=29$.
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=41$.
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=41$.
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=29$.
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=29$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 2;-1;1 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left( 1;2;2 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-3;4 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right]=\left( -14;2;5 \right)\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right] \right|=15$.
Khoảng cách từ I đến đường thẳng $\Delta $ là $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\dfrac{15}{3}=5$.
Diện tích tam giác IAB bằng 20 nên $AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta IAB}}}{d\left( I,\Delta \right)}=\dfrac{2.20}{5}=8$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{\left[ d\left( I,\Delta \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{41}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ cần lập là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=41$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 1;-3;4 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right]=\left( -14;2;5 \right)\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right] \right|=15$.
Khoảng cách từ I đến đường thẳng $\Delta $ là $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\dfrac{15}{3}=5$.
Diện tích tam giác IAB bằng 20 nên $AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta IAB}}}{d\left( I,\Delta \right)}=\dfrac{2.20}{5}=8$.
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{\left[ d\left( I,\Delta \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{41}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ cần lập là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=41$
Đáp án B.