Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H\left( a;2;5 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $H$ cắt các trục tọa độ $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết rằng, $\left( P \right)$ song song với đường thẳng đi qua hai điểm $M\left( 3;1;7 \right)$ và $N\left( 7;4;5 \right)$. Phương trình $\left( P \right)$ là:
A. $x+2y+5z-30=0$.
B. $2x+4y+10z-2=0$.
C. $x+2y+5z+30=0$.
D. $2x+4y-10z+1=0$.
Bổ đề: Cho hình chóp $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau. Nếu $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ thì $OH\bot \left( ABC \right)$.
Chứng minh: Kẻ hai đường cao $AE$, $BF$ cắt nhau tại $H$ của tam giác $ABC$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
AE\bot BC \\
AO\bot BC \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AEO \right)\Rightarrow BC\bot OH $ và $ \left\{ \begin{matrix}
BF\bot AC \\
BO\bot AC \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BFO \right)\Rightarrow AC\bot OH$
$\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)$.
Áp dụng bổ đề trên ta $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{OH}=\left( a;2;5 \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):ax+2y+5z-{{a}^{2}}-29=0$.
Mà $MN\text{//}\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}\overrightarrow{OH}=0\Leftrightarrow 4a+6-10=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow \left( P \right):x+2y+5z-30=0$.
A. $x+2y+5z-30=0$.
B. $2x+4y+10z-2=0$.
C. $x+2y+5z+30=0$.
D. $2x+4y-10z+1=0$.
Chứng minh: Kẻ hai đường cao $AE$, $BF$ cắt nhau tại $H$ của tam giác $ABC$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
AE\bot BC \\
AO\bot BC \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AEO \right)\Rightarrow BC\bot OH $ và $ \left\{ \begin{matrix}
BF\bot AC \\
BO\bot AC \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BFO \right)\Rightarrow AC\bot OH$
$\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)$.
Áp dụng bổ đề trên ta $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\overrightarrow{OH}=\left( a;2;5 \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):ax+2y+5z-{{a}^{2}}-29=0$.
Mà $MN\text{//}\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}\overrightarrow{OH}=0\Leftrightarrow 4a+6-10=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow \left( P \right):x+2y+5z-30=0$.
Đáp án A.
