Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( 2;1;3 \right),$ mặt...

Hướng Dẫn.

Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36,$ có tâm
$I\text{ (3;2;5)}$ và bán kính $R=6.$ Ta có:
$\overrightarrow{EI}=(1;1;2)\Rightarrow EI=\overrightarrow{EI}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R.$
Do đó điểm E nằm trong mặt cầu S
Ta lại có: $E\in \left( P \right)$ và$\left\{ \begin{matrix}
E\in \Delta \\
\Delta \subset P \\
\end{matrix} \right. $ nên giao điểm của$ \left( \Delta \right) $ và S nằm trên đường tròn giao tuyến $ \left( C \right) $tâm K của mặt phẳng$ \left( P \right) $ và mặt cầu S, trong đó K là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng $ \left( P \right) $. Giả sử$ \Delta \cap S=A;B. $. Độ dài$ AB $ nhỏ nhất khi và chỉ khi$ d\left( K,\Delta \right) $ lớn nhất. Gọi F là hình chiếu của K trên$ \left( \Delta \right) $ khi đó $ d\left( K,\Delta \right)=KF<KE. $ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$ F\equiv E$. Ta có
$\left\{ \begin{matrix}
IK\bot \left( P \right) \\
KE\bot \Delta \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
IK\bot \Delta \\
KE\bot \Delta \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta $. Ta có:$ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},IE \right]=\left( 5;-5;0 \right) $ cùng phương với $ \overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right) $. Vì $ \left\{ \begin{matrix}
\Delta \subset P \\
\Delta \bot IE \\
\end{matrix} \right. $nên có một vec-tơ chỉ phương là$ \overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$
Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{matrix}
x=2+t \\
y=1-t \\
z=3 \\
\end{matrix}. \right.$