Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( 2;1;3 \right)$, mặt...

Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36$ có tâm $I\left( 3;2;5 \right)$ và bán kính $R=6$.
Ta có $\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow EI=\left| \overrightarrow{EI} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{1}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R$ $\Rightarrow $ điểm $E$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Ta lại có $E\in \left( P \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& E\in \Delta \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên giao điểm của $ \Delta $ và $ \left( S \right) $ nằm trên đường tròn giao tuyến $ \left( C \right) $ tâm $ K $ của mặt phẳng $ \left( P \right) $ và mặt cầu $ \left( S \right) $, trong đó $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên mặt phẳng $ \left( P \right)$.
Giả sử $\Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A,B \right\}$. Độ dài $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( K,\Delta \right)$ lớn nhất.
Gọi $F$ là hình chiếu của $K$ trên $\Delta $ khi đó $d\left( K,\Delta \right)=KF\le KE$.
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $F\equiv E$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IK\bot \left( P \right) \\
& KE\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& IK\bot \Delta \\
& KE\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta $.
Ta có $\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5;-5;0 \right)$, cùng phương với $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset \left( P \right) \\
& \Delta \bot IE \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \Delta $ có một vectơ chỉ phương là $ \overrightarrow{u}=\left( 1;-1;0 \right)$.
Do đó phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$.